_gmurman2[1]

Отсюда

^ip(x)dx = (b-a)M[(p(X)].

Замевив натеиатяческое ожидание Af (ф(Х)) его оценкой—выбороч­ ной средней, получим оценку искомого интеграла

S «Р (XI)

где х/-^возможные значения X. Так как случайная величина X распределена равномерно в интервале {а, Ь) с плотностью f(x) =

= 1/(6—а), то X/ разыгрывают по формуле г---— i dx=sr/ (см. § 3,

а

правило 2). Отсюда х/=а+(6—о)/-/, где г/—случайное число.

735. Найти: а) оценку определенного интеграла

3

/=J (x+l)dx; б) абсолютную погрешность |/—/?|;

в) дисперсию (т^ усредняемой функции (6—а)ф(А^. Решение, а) Используем формулу

п

По условию д = 1,6=3, ф(х)=х+1. Примем для простоты 4исло испытаний л=: 10. Тогда оценка

где возможные значения Xf разыгрывают по формуле Х/=а+(6~-а)г,= 1 + (3-1)г,= 1+2г;.

Результаты десяти испытаний приведены в табл. 63. Случай­ ные числа Vf взяты из первой строки приложения 9.

Таблица 63

320

Из табл. 63 находим Еф(х^)=29,834. Искомая оценка

10

б) Найдем абсолютную погрешность |/—/*|. Приняв во внимание, что

3

/=J(x4-l)dx=6,

получим искомую погрешность:

|/-/*| = |6-5,967|=0,033.

в) Найдем дисперсию а^ усредняемой функции ф—а)(р(Х)= = (3-1)(ЛГ+1)=2АГ+2 по формуле

По условию а=1, 6=3, <р(х)=х+1, следовательно,

^2 = (3-1) J (х+1)^(Ьс-М (jc+l)dxT.

Выполнив выкладки, получим искомую дисперсию (7^=-.

Заметим, что <т^ можно было вычислить непосредственно, используя свойства дисперсии:

D(X+Q=D(X), D(CX)^C^D(X),

Действительно,

Поскольку случайная величина X распределена равномерно в ин­ тервале (1; 3), то ее дисперсия (см. задачу 315)

321

Решение. Используем формулу

а^ = (Ь-а)1 cp^(x)dx-U (p(x)dxj.

По условию а=0, 6= - , ^(JC)=COSJC. Следовательно,

Выполнив выкладки, получим искомую дисперсию:

( т 2 = , - - 1 = 0 , 2 3 .

8

^737. В качестве приближенного значения интеграла / =

2

=1 sinxdx принята оценка /f. Найти дисперсию а^ усредняемой

о

функции - sin X,

738. Найти: а) оценку определенного интеграла /=J x^dx по

данным десяти испытаний; б) дисперсию <т^ усредняемой функции ЗА^.

Указание. Для определенности взять случайные числа г, из первой строки табл. 63. },

739.Найти: а) оценку /f определенного интеграла / = j e'dx по данным десяти испытаний; б) дисперсию усредняемойофункции

740.Найти оценки Ц определенных интегралов:

a)/=Jtg^xcb:;6)/=f djc

322

Результаты испытанийприведены в табл. 64.

Таблица 64

дисперсия а^ усредняемой функции {b—a)q>{X) равна

с^^{Ь-а)\ (p\x)dxS\ (p(x)/(x)dxT. Решение. Учитывая, что D{CX) — C^D(X), получим

Используем формулу (**) (гл. VI, § 3)

/)[Ф(J50]=l срНх)&Х'-[МЫт^.

а

По формуле (*) (гл. VI, § 3)

а

323

324

Сравнительно большое расхождение полученной оценки с точ­ ным значением /=0,5 объясняется малым числом испытаний.

744. Найти оценку /* интегралов:

B)|dxj^e'/.di,;r) jd^Jdi^jj^^

Произвести no 10 испытаний. Случайные числа брать из таблицы приложения 9 с тремя знаками после запятой, начиная с первой строки сверху.

п

745. Вывести формулу ll^ — YL ?тгг для оценки

b

определенного интеграла I = ^fp{x)dx, где f(x)—плот-

а

ность распределения свспомогательной» случайной вели­ чины X в интервале интегрирования (а, 6); Х/—возмож­ ные значения X, разыгранные по известной плотности f(x)\ п—число испытаний.

Решение . Пусть / {х)—плотность распределения некоторой случайной величины X в интервале интегрирования (а, Ь)^ т. е.

ь

V/(x)dX8l. Представим интеграл У так:

J fix) ^ (x)dx.

Таким образом, интеграл / представлен в виде математического ожидания функции ^(л)вф(Х)//(Х). В качестве оценки этого ма« тематического ожидания, а следовательно равного ему интеграла /» примем выборочную среднюю

У:—± V у<^/)

где JT/^возможные значения случайной величины X, которые разыг* рввают по известной плотности / {х)\ п—число испытаний. Искомая оценка получена.

325

Заметим, что желательно выбрать /(х) так, чтобы по возмож« ности отношение /(дг)/|ф(х)|а= const.

где Xi—возможные значения Л, которые надо разыграть по извест^ ной плотности /(д:)=(2/3)(д:+1). По правилу 2 (см. § 3). имеем

(2/3) J(x+l)dx«r/.

о

Отсюда находим явную формулу для разыгрывания возможных зна*

В табл. 66 приведены результаты 10 испытаний.

Т а б л и ц а 66

326

а) J(j^+l)djc; б) Je«*dx; в) j sinxdx;

•Ч' dx

У к а з а н и е * Принять в качестве «вспомогательной плотности» /(х) функцию, соответственно равную: а) (1/4) дс; б) 0,5(1-{-2х); в) (8/я*)др; г) 1,092/(1 +ж)*

748. Вывести формулу 11 = ф—a)c(njn) для оценки

b

определенного интеграла / = J ф (х) dJt, где подынтеграль-

отношение площади, определяемой интегралом /, к площади прямо­ угольника D

ь

ф—а) с п *

Отсюда

b

\ ф (х) dx^(b—a)c(nin),

а

Таким образом, в качестве оценки интеграла / можно принять /»*«(6—а)с(пх/я).

2

749. Найти оценку /J интеграла J (4—x^)dx.

о

327

Из т^бл. 67 находим Л|«6« Искомая оценка интеграла /;«№—л)с(я1/я)«2.4.(6/10)==4,8.

4

750. Найти оценку /; интеграла \-jdjc.

Указание. Для определенности взять 20 пар случайных чисел с тремя знаками после запятой из таблицы ориложейия 9, начиная с первой строки сверху.

328

где X{~a + (b—a)r^^ g (x) di ц> (x), для оценки интеграла

b

/ = J Ф (X) dx.

Допустим» что найдена такая функция ^(дг)» которая смало отличается» от (р(х) и интеграл от которой можно вычислить, не прибегая к методу Монте-Карло. Тогда математическое ожидание функции

b

F (X) - (р-а) [ф (X)-g {ХУ\ + J «(*) <Uf

а

равно /.

Действительно» учитывая» что величина X распределена в интервале интегрирования (а» Ь) равномерно с плотностью 1/(6—а)» получим

а

Таким образом, в качестве оценки математического ожидания Ai[F(X)], а следовательно интеграла /» можно принять среднее арифметическое п значений функции F{Xy.

где дг/—возможные значения X, которые разыгрывают по формуле

Xi^a+{b—a)ri. ^

753« Найти оценку 1\ интеграла

*) Это указание относится в к задачам 754» 755.

329