_gmurman2[1]

20в. Доказать, что если случайные величины Х^, Х,, Х^, Х^, Х^ независимы, 'положительны и одинаково рас­ пределены, то

^^ L Хг + Хг + Xs + X^ + X^ J 5 •

У к а з а н и е . Представить дробь» стоящую под знаком матема тического ожидания, в виде суммы трех дробей и воспользоваться решением задачи 205.

207. Найти математическое ожидание дискретной слу­ чайной величины X, распределенной по закону Пуассона:

208. Случайные величины X и V независимы. Найти дисперсию случайной величины Z = 3X + 2V, если из­ вестно, что D(X) = 5, D{Y) = 6.

(дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат), получим

D (Z) = D (ЗХ+2У) = D (3X)+D (2K)=9D (X) + 4D(K)r=9.5+4.6=69.

70

209. Случайные величины X и У независимы. Найти дисперсию случайной величины Z = 2X+3K, если из­ вестно, что D(X) = 4, D(K) = 5.

210. Найти дисперсию и среднее квадратическое от­ клонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

Л1(Х2)=25.0.4 + 4.0,3 + 9.0,1 + 1б.0,2=15,3, Найдем искомую дисперсию:

D(X) = Af(A:2) — [M(X)l2 = 15,3—(—0,3)* ==15,21. Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:

а(X) == I/'DTX) = У^15Ж=3,9.

211.Найти дисперсию и среднее квадратическое от­ клонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

212. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения х^ и Xj, причем равновероят­ ных. Доказать, что дисперсия величины X равна квад­ рату полуразности возможных значений:

Найдем математическое ожидание X*:

M(X^)^xl(l/2) + xl{\/2)^{xl + xl}/2.

71

Найдем дисперсию X:

213. Найти дисперсию дискретной случайной вели­ чины X—числа появлений события А в пяти независи­ мых испытаниях, если вероятность появления событий А

вкаждом испытании равна 0,2.

Ре ш е н и е . Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях (с одинаковой вероятностью появления события в каж­ дом испытании) равна произведению числа испытаний на вероятнос­ ти появления и непоявления события:

D(X)=^npq.

По условию, л = 5; р=0,2; <7 = 1—0,2 = 0,8. Искомая дисперсия

D (Х) = прдг = 5.0,2.0,8 = 0,8.

214. Найти дисперсию дискретной случайной величи­ ны X—числа отказов элемента некоторого устройства в десяти независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9.

215э Найти дисперсию дискретной случайной вели­ чины X—числа появлений события А в двух независи­ мых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что Л1(Х) = 1,2.

D(X) = /ip^ = 2.0,6.0,4 = 0,48.

Разумеется, второй способ быстрее ведет к цели.

72

21в. Найти дисперсию дискретной случайной величи­ ны X—числа появлений события А в двух независи­ мых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что Л4(Х)=0,9.

217.Производятся независимые испытания с одина­ ковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события Л, если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях^ равна 0,63.

218.Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: х^ и х^, причем х^ > х^. Веро­

дискретной случайной величины равна единице, поэтому вероятность

Для отыскания Xi и Х2 надо составить два уравнения, связываю­ щие эти числа. С этой целью выразим известные математическое ожидание и дисперсию через Xi и Х2.

Найдем М (Х):

А! (X) = 0,6;ci + 0,4je2. По условию, /И(Х) = 1,4, следовательно,

Одно уравнение, связывающее Xi и Х2, получено. Для того чтобы получить второе уравнение, выразим известную дисперсию через Xi

и Х2-

Напишем закон распределения Х^:

Х^ х\ х1 р 0,6 0,4

Найдем М{Х^):

Л!(Х2)=0.6л:|+0,4;с2. Найдем дисперсию:

D(X) = M(X2)—[Ai(X)]2 = 0,6;c?+0,4;cl —1,42.

73

Объединяя (**) и (*•*), имеем систему уравнений f0,6jci+0.4jc,= l,4, 10,6x1+0,4x1 = 2.2.

Решив эту систему, найдем два решения:

Xi=l; ^2 = 2 и Xi=l,8; д:2 = 0,8.

По условию Х2 > Хи поэтому задаче удовлетворяет лишь первое решение:

Подставив (****) в (*), получим искомый закон распределения:

X1 2

р0,6 0,4

219.Дискретная случайная величина X имеет толь­ ко два возможных значения: х^ и jc,, причем х^ < х,. Вероятность того, что X примет значение х^, равна 0,2. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание М {X) == 2,6 и среднее квадратическое откло­ нение а(Х) = 0,8.

220.Дискретная случайная величина X имеет только

три возможных значения: Xi = l, х^ и JCJ, причем х^ < <х-2<Хз. Вероятности того, что X примет значения х^ и ^2 соответственно равны 0,3 и 0,2. Найти закон рас­ пределения величины X, зная ее математическое ожида­ ние Л1(Х) = 2,2 и дисперсию D(X)=^0,76.

221. Брошены п игральных костей. Найти дисперсию суммы числа очков, которые могут появиться на всех выпавших гранях.

Решение. Обозначим через X дискретную случайную вели­ чину—сумму числа очков, которые выпадут на всех гранях, через Х{ (1 = 1, 2, ..., п)—число очков, выпавших на грани i-й кости. Тогда

Так как рассматриваемые случайные величины независимы, то дисперсия их суммы равна сумме дисперсий слагаемых:

D(X) = D(Xi + X2+ ... +X„) = D(Xi) + D(X2)+...+D(X„).

В силу (•) получим

0(Х)^пВ(Хг). С*)

Таким образом, достаточно вычислить дисперсию случайной ве­ личины Xi, т. е. дислерсию числа очков, которые могут выпасть на

74

М №) = 1 4 + 2 • Т+3 • Т+^ • 4+5 • Т+« • Т=Т-

Л^(ХЬ= 1 4+4 4+^ 4+^^ 4+25 4+^^ 4=Т'

D(Xi) = Al(Xi) — [Af(Xi)]« = 91/6—(7/2)2 = 35/12. (*•*)

Найдем искомую дисперсию, для чего подставим (***) в (**): D(X)=:(35/12)n.

222*. Вероятность наступления события в каждом испытании равна р ( 0 < р < 1). Испытания производятся до тех пор, пока событие не наступит. Найти: а) мате­ матическое ожидание дискретной случайной величины X—числа испытаний» которые надо произвести до появ­ ления события; б) дисперсию величины X.

Р е ш е н и е , а) Составим закон распределения величины X — числа испытаний, которые надо произвести» пока событие не наступит:

можно почленно д»!фференцировать и сумма производных членов ряда равна производной от суммы ряда, т. е.

75

СХггается найти М {X*). Напишем закон распределения X», исполь­ зуя распределение (*):

Х« 1« 2« 3« . . . А* . . .

Рр qp q*p . . . <7*~*р . . .

Найдем М{Х*у.

Найдем искомую дисперсию, для чего подставим (•***) в (••*): П о я с н е н и е . Покажем, что

Действительно,

я

\ (P+2V+3V+ • • • + /fV"*+ ...)rffl^==

«^(1+2^+31/»+..•+Л^*-1+...)==<7/(1-^)* [см. О ] .

Дифференцируя обе части равенства по (/, получим

i«+2«^+3V+...+*V"-^+..- = (i+^)/(i-^)*.

223. Производятся многократные испытания некото­ рого элемента на надежность до тех пор, пока элемент не откажет. Найти: а) математическое ожидание дискрет­ ной случайной величины X—числа опытов, которые надо произвести; б) дисперсию X. Вероятность отказа эле­ мента в каждом опыте равна 0,1.

У к а з а н и е . Воспользоваться результатами задачи 222.

224, Доказать неравенство М [X—(х/+A:^)/2J* > D (Х)^ где лг/ и Xj^—любые два возможных значения случайной величины X.

Р е ш е н и е . 1) Допустим, что (xi+Xk)l2^M {X). Тогда

2) Допустим, что (ж/+Д^л)/2 9& М (Л). Докажем, что в этом случае

Л| Г х - ^ Ц ^ ] * > D(X).

7в

Преобразуем левую часть неравенства, используя Свойства ма­ тематического ожидания:

М [x-ii±i^]'=Af (Х«)-2*ф^*. М(Х)+ [^Ц^]\

Вычитая и прибавляя [Af (Х)]^ в правой части равенства, получим

М [;c-.i^i±^]'-DW+ [м(Х) ^ £ i + £ * j 4 D(X). Г)

Объединяя (•) и (*•), окончательно имеем

225. Доказать, что если случайная величина X имеет наименьшее и наибольшее возможные значения, соответ­ ственно равные а и 6, то дисперсия этой случайной ве­ личины не превышает квадрата полуразности между этими значениями:

D(X)<r(6-a)/2J^

(Отсюда и из (*) следует справедливость доказываемого неравенства.) С этой целью преобразуем математическое ожидание:

Af [(^—a)/2]« = M[X —(а + ^)/2+(6—Л')]2 = = Л1 [X —(а + 6)/2]2 + Л1 [(б—Х) (X—а)].

Второе слагаемое правой части равенства неотрицательно (это следует из того, что b—наибольшее и а — наименьшее возможные значения), поэтому первое слагаемое не превышает всей суммы:

М [X —(а + ^)/2]* < М [(6—а)/2]^

Учитывая, что математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, окончательно получим

Ai [X —(a + &)/2ia<;[(6-~a)/2]a.

226. Доказать, что если X и Y — независимые случай­ ные величины, то

D {XY)^D{X)'D (К) +пЮ {Х)+тЮ (К),

где т = Л1(Х) и /г = Л1(У).

Р е ш е н и е . По формуле для вычисления дисперсии

дения независимых случайных величин равно произведению ихмате-

77

Напишем распределение случайной величины X*, учитывая, что вероятность того, что X' примет значение ^^, равна вероятности того, что X примет значение к (это следует из того, что возможные значения X неотрицательны):

Найдем математическое ожидание Х^:

Учитывая, что при Аг=0 первый член суммы равен нулю, получим

78

Принимая во внимание, что

Подставим (••) в (•):

D(X) = (X«4-M—А'^ = ^.

Итак, дисперсия распределения Пуассона равна параметру к,

§ 4. Теоретические моменты

Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины Х^:

v^ = M(X*).

В частности, начальный момент первого порядка равен матема­ тическому ожиданию:

Vi = M(X).

Центральным моментом порядка k случайной величины X на­ зывают математическое ожидание величины [X—М{Х)]^:

^1л = Л1[Х-Л1(Х)]Л.

В частности, центральный момент первого порядка равен нулю: fii = M[A:—М(Х)]=0;

центральный момент второго порядка равен дисперсии:

Центральные моменты целесообразно вычислять, используя фор* мулы, выражающие центральные моменты через начальные:

fAa = Va—VI, fAs==V3—3viV2 + 2vi,

Ц4 = V4—4viV3 + 6V1V2—3vi.

228. Дискретная случайная величина X задана зако­ ном распределения:

X 1 3

р0,4 0,6

Найти начальные моменты первого, второго и третьего порядков.

Р е ш е н и е . Найдем начальный момент первого порядка: VI = M(A:) = 1.0,4 + 3 0,6 = 2,2.

79