_gmurman2[1]

Здесь

Ф(:г)а=0,5. Для отрицательных значений х используют эту же таб­ лицу» учитывая, что функция Лапласа нечетная [Ф(—х)^—Ф(^)]-

119. Найти вероятность того, что событие А насту­ пит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

Решение. По условию, п=243; ^=70; р=0,25; ^=0,75. Так как /i»2i3—достаточно большое число, воспользуемся локаль­ ной теоремой Лапласа:

ния этого события в каждом испытании равна 0,6.

Решение. Так как п велико, воспользуемся локальноА теоре­ мой Лапласа:

Функция ф (х)=—р= е"'*/^—четная, поэтому ф (—1,67)=ф (1,67). К2я

По таблице приложения 1 найдем ф( 1,67)=0.0989. Искомая вероятность

Pt40« (1400) = 1/24 0.0989 ==0,0041.

121. Вероятность поражения мишени при одном выст­ реле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 1СЮ выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

40

122. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.

123.Монета брошена 2N раз {N велико!). Найти веро­ ятность того, что «герб» выпадет ровно N раз.

124.Монета брошена 2N раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет на 2т раз больше, чем надпись.

125.Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна /7 = 0,8. Найти вероятность того, что себытие появится: а) не менее 75 раз

и не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.

Р е ш е н и е . Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

Учитывая, что функция Лапласа нечетна, т. е. Ф (—х) = —Ф (А:)» получим

Pioo(75; 90)=Ф(2,5)~Ф(~1,25)=Ф(2,5) + Ф(1,25). По таблице приложения 2 найдем:

Ф (2,5) =0,4938; Ф (1,25) = 0,3944. Искомая вероятность

Pioo(75; 90) =0,4938+ 0,3944 = 0,8882.

б) Требование, чтобы событие появилось не менее 75 раз, озна­ чает, что число появлений события может быть равно 75 либо 76, ..., либо 100. Таким образом, в рассматриваемом случае следует при­ нять ^1 = 75, ^2=100. Тогда

не более 74 раз» противоположны, поэтому сумма вероятностей этих

41

событий равна единице. Следовательно, искомая вероятность Pioo (0; 74) = 1 —Ploo (75; 100) = 1—0,8944 =0,1056.

126. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 1470 и не более 1500 раз; б) не менее 1470 раз; в) не более 1469 раз.

127.Вероятность появления события в каждом из 21 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится в большинстве испытаний.

128.Монета брошена 2N раз (N велико!). Найти веро­

ятность того, что число выпадений «герба» будет заклю­

чено между числами Л^—Y2NI2 и Л^ + К277/2.

129. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно про­ извести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие появится не менее 75 раз?

Очевидно, число испытаний п > 75, поэтому У^12 > V^75/2 с^ £55^4,33. Поскольку функци^^ Лапласа — возрастающая и Ф(А) с±0,Ъ,

то можно положить Ф(У^я/2) = 0,5. Следовательно, 0 . 9=0 . 5 - Ф r i E n O ^ l .

Таким образом,

L 0,4}Гп J

По таблице приложения 2 найдем Ф( 1,28) = 0,4. Отсюда и из соотношения (•), учитывая, что функция Лапласа нечетная, получим

(75—0.8/1)/(0,4 У'И) =» — 1,28.

Решив это уравнение, как квадратное относительно У1Г, полу­ чим l/'/irsrIO. Следовательно, искомое число испытаний л =100.

130. Вероятность появления положительного резуль­ тата в каждом из п опытов равна О^Э. Сколько нужно

42

произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадзгг положи­ тельный результатоезультат?

§ 3. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Оценка отклонения относительной частоты от постоянной веро­ ятности. Вероятность того, что в п независивсых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (О < р < 1), абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от вероятности появления события не превысит положи­ тельного числа 8, приближенно равна удвоенной функции Лапласа при х=!^вУ^п/рд:

p ( | i _ , | « . ) = 2 « , ( . / X ) .

131. Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события откло­ нится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04.

По таблице приложения 2 найдем Ф (2»5) == 0,4938. Следовательно, 2Ф (2,5) = 2 0,4938=0,9876. Итак, искомая вероятность приближенно равна 0,9876.

132. Веро51Тность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0»5. Найти вероятность того, что относительная частота появления события откло­ нится от его вероятности по абсолютной величине не бо­ лее чем на 0»02.

ятность того, что относительная частота появления собы­ тия отклонится от его вероятности по абсолютной вели­ чине не более чем на 0,01.

134. Французский ученый Бюффон (XVIII в.) бросил монету 4040 раз, причем «герб» появился 2048 раз.

43

Найти вероятность того, что при повторении опыта Бюффона относительная частота появления «герба» откло­ нится от вероятности появления «герба» по абсолютной величине не более чем в опыте Бюффона.

135. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испыта­ ний м, при котором с вероятностью 0,7698 можно ожи­ дать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

Решение. По условию, р = 0,5; д=0,5; е=0,02; Р (I m//i—0,51 <;0,02)== 0,7698.

Воспользуемся формулой

Р ( | т / п - р | < е ) = 2 ф ( е | / ^ ) . В силу условия

^^(^•^^/-ОЗЖб)^^'^^^^'

Таким образом, искомое число испытаний п=900.

136. Сколько раз нужно бросить игральнуюкость, чтобы вероятность неравенства

была не меньше чём вероятность противоположного не­ равенства, где т—число появлений одного очка в п бросаниях игральной кости?

Решение . Воспользуемся формулой

К1т-Н*0-""('/^)-

По условию, р=1/б, (7 = 5/6, 8 = 0,01. Вероятность осуществления неравенства, противоположного заданному, т. е. неравенства | т/п— —1/61 > 0,01, равна

Согласно условию должно иметь место неравенство

или

44

Отсюда

По таблице приложения 2 найдем Ф (0,67) =0,2486; Ф (0,68) = 0,2517. Выполнив линейную интерполяцию, получим Ф (0,6745) =0,25.

Учитывая соотношение (*) и принимая во внимание, что функ­ ция Ф (х)—возрастающая, имеем

« > ^ ^ ^ 0 ' 6 7 ^ 5 , или 0,01 l / . ^ ^ ^ =0.6745.

Отсюда искомое число бросаний монеты л ^ 6 3 2 .

137.Вероятность появления события в каждом из не­ зависимых испытаний равна 0,2. Найти наименьшее число испытаний п, при котором с вероятностью 0,99 можно ожидать, что относительная частота появлений события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04.

138.В урне содержатся белые и черные шары в отно­ шении 4:1 . После извлечения шара регистрируется его цвет и шар возвращается в урну. Чему равно наимень­ шее число извлечений п, при котором с вероятностью 0,95 можно ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты появления белого шара от его вероятности будет не более чем 0,01?

139.Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положи­ тельное число 8, чтобы с вероятностью 0,99 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления

события от его вероятности 0,8 не превысила е.

900 независимых испытаний равна 0,5. Найти такое по­ ложительное число 8, чтобы с вероятностью 0,77 абсо­ лютная величина отклонения относительной частоты по­ явления события от его вероятности 0,5 не превысила е.

45

солютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0,75 не превысила е.

142,. Отдел технического контроля проверяет на стан­ дартность 900 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти с вероятностью 0,95 гра­ ницы, в которых будет заключено число т стандартных деталей среди проверенных.

Отсюда искомое число m стандартных деталей среди 900 прове­ ренных с вероятностью 0,95 заключено в следующих границах: 792<т<828 .

143. Отдел технического контроля проверяет 475 из­ делий на брак. Вероятность того, что изделие бракован­ ное, равна 0,05. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число т бракованных изде­ лий среди проверенных.

144. Игральную кость бросают 80 раз. Найти с веро­ ятностью 0,99 границы, в которых будет заключено число т выпадений шестерки.

§4. Наивероятнейшее число появлений события

внезависимых испытаниях

145. Испытывается каждый из 15 элементов некото­ рого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит

46

испытание, равна 0,9. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание.

Решение. По условию, п = 15,р=0,9, (7=0,1. Найдем наи­ вероятнейшее число ко из двойного неравенства

np^q<ko < пр + р.

Подставив данные задачи, получим

150,9—0,l<*o < 15-0,9+0,9, или 13,5<*о< IM.

Так как ^о—целое число и поскольку между числами 13,4 и 14,4 заключено одно целое число, а именно 14, то искомое наиве­ роятнейшее число ко ==14.

146. Отдел технического контроля проверяет партию из 10 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число деталей, которые бу­ дут признаны стандартными.

147. Товаровед осматривает 24 образца товаров. Ве­ роятность того, что каждый из образцов будет признан годным к продаже, равна 0,6. Найти наивероятнейшее число образцов, которые товаровед признает годными к продаже.

Решение. Пр условию, п=:24;р==:0,6; ^=0,4. Найдем наи­ вероятнейшее число годных к продаже образцов товаров из двойного неравенства пр—д<^ко < пр'\'р. Подставляя данные задачи, получим

148. Найти наивероятнейшее число правильно наби­ тых перфораторщицей перфокарт среди 19 перфокарт, если

любого шахматиста, если будет сыграно 2N результатив­ ных (без ничьих) партий.

Решение. Известно, что если произведение числа испытаний п на вероятность р появления события в одном испытании есть целое число, то наивероятнейшее число

мое наивероятнейшее число ко выигранных партий равно N.

47

150. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность промаха при одном выстреле для первого стрелка равна 0,2, а для второго—0,4. Найти наивероятнейшее число залпов, при которых не будет ни одного попадания в ми­ шень, если стрелки произведут 25 з|1лпов.

Р е ш е н и е . Промахи стрелков есть независимые события, по­ этому применима теорема умножения вероятностей независимых со­ бытий. Вероятность того, что оба стрелка при одном залпе промахнутся, р = 0,2.0,4=0,08.

Поскольку произведение лр = 25.0,08 = 2—целое число, то наи­ вероятнейшее число залпов, при которых не будет ни одного попадания, Аго = лр = 2.

151. Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,8, а для второго—0,6. Найти наивероятнейшее число залпов, при которых оба стрелка попадут в мишень, если будет произведено 15 залпов.

152. Сколько надо произвести независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании, равной 0,4, чтобы наивероятнейшее число появлений со­ бытия в этих испытаниях было равно 25?

153.Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,3. Найти число испы­ таний п, при котором наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях будет равно 30.

154.Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,7. Найти число испыта­ ний /I, при котором наивероятнейшее число появлений события равно 20.

155.Чему равна вероятность р наступления события

вкаждом из 49 независимых испытаний, если наивероят­ нейшее число наступлений события в этих испытаниях равно 30?

48

Р е ш е н и е . По условию, л = 49, ^о==30. Воспользуемся двой­ ным неравенством пр—д<к^ < пр-\-р. Подставляя данные задачи, получим систему неравенств для определения неизвестной вероятно­ сти р:

49р + р > 30, 49р—(1 —р) < 30.

Из первого неравенства системы найдем р > 0,6. Из второго не­ равенства системы найдем р<0,62 .

Итак, искомая вероятность должна удовлетворять двойному не­ равенству 0,6 < р < 0,62.

156.Чему равна вероятность р наступления события

вкаждом из 39 независимых испытаний, если наивероят­ нейшее число наступлений события в этих испытаниях равно 25?

157.Батарея произвела шесть выстрелов по объекту. Вероятность попадания в объект при одном выстреле равна 0,3. Найти: а) наивероятнейшее число попаданий; б) вероятность наивероятнейшего числа попаданий; в) ве­ роятность того, что объект будет разрушен, если для

этого достаточно хотя бы двух попаданий.

Р е ш е н и е . По условию, л = 6; р = 0,3; ^ = 0,7. а) Найдем наивероятнейшее число попаданий по формуле

лр—^<^o < пр + р. Подставив данные задачи, получим

6.0,3—0,7<Ло < 6.0,3 + 0,3 или 1 . К * о < 2,Ь

Отсюда ко = 2.

б) Найдем вероятность наивероятнейшего числа попаданий по формуле Бернулли

P e ( 2 ) - C 5 p V = ^0 . 3a . 0,7* = 0,324.

в) Найдем вероятность того, что объект будет разрушен. По условию, для этого достаточно, чтобы было или 2, или 3, или 4, или 5, или 6 попаданий. Эти события несовместны, поэтому вероятность разрушения объекта равна сумме вероятностей этих событий:

Р = Рв(2) + Яа(3) + Яв(4) + Рв(5) + Рв(6).

Однако проще сначала найти вероятность Q противоположного со­ бытия (ни одного попадания или одно попадание):

Q = Pe(0) + Pe(l) = (7e + Cip^* = 0,7e + 6.0,3.0,7^=0.42. Искомая вероятность того, что объект будет разрушен,

Р= 1—(2 = 1—0,42 = 0,58.

158.Прибор СОСТОИТ из пяти независимо работающих элементов. Вероятность отказа элемента в момент вклю­ чения прибора равна 0,2. Найти: а) наивероятнейшее

49