_gmurman2[1]

Найдем вероятности событий В, С н D (см. решение задачи 17.

Л V*4HM

Р(Л) = 45/91 Ч-20/91 +2/91 ==67/91.

Вт о р о й с п о с о б . События А (хотя бы один из взятых трех учебников имеет переплет) и А (ни один из взятых учебников не

Вероятность появления события А (ни один из взятых учебников не имеет переплета)

Р(Л)=:С!о/С?5=«24/91. Искомая вероятность^

Р[А) = 1--.Р (Л) = 1—24/91 =67/91.

47.В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. (!^орщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.

48.Доказать, что если событие А влечет за собой

Р е ш е н и е . Событие В можно представить в виде суммы несов­ местных событий А w АВ:

В^А^г^В.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий по­ лучим

p(B)«p(л + лa)=P(Л)-^P(Лi5). Так как Р(АВ)^0, то Р(5):^Р(Л).

49. Вероятности появления каждого из двух незави­ симых событий Ai и Л2 соответственно равны р, и р,. Найти вероятность появления только одного из этих событий.

Р е ш е н и е . Введем обозначения событий: Bf—появилось только событие Ai; В%—появилось только событие А%. _

Появление события Bi равносильно появлению события AiAz (появилось первое событие и не появилось второе), т. е. Вг^^ АхА^, Появление события В^ равносильно появлению события А^А^ (по­

явилось второе событие и не появилось первое), т. е. В%^=^А^А2:

Таким образом» чтобы найти вероятность появления только одного из событий Ах и А%^ достаточно найти вероятность появления одного, безразлично какого, из событий Вх и В%. События Bi н В%

20

несовместны, поэтому применима теорема сложения:

Подставив эти вероятности в соотношение (4>), найдем искомую вероятность появления только одного из событий Ах и Л^:

P(Si + ^2) = PWa + <7iP,.

50.Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти веро­ ятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

51.Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго—0,8. Найти вероят­ ность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

62.Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

53.Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стан­ дартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

54.Вероятность того, что при одном измерении неко­ торой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.

55.Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти веро­ ятность того, что из трех проверенных изделий только два изделия высшего сорта.

21

56.Устройство состоит из трех элемеято», работающих независимо. Вероятности безотказной работы (за время t) первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятности того, что за время t безотказно будут работать: а) только один эле­ мент; б) только два элемента; в) все три элемента.

57.Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором, третьем, четвертом ящике, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероят­ ности того« что деталь содержится: а) не более чем в трех ящиках; б) не менее чем в двух ящиках.

58.Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) на каждой из выпавших граней появится пять очков; б) на всех выпавших гранях по­ явится одинаковое число очков.

59.Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий: д) на двух выпавших гранях поя­ вится одно очко, а на третьей грани—другое число очков; б) на двух выпавших гранях появится одинаковое число очков, а на третьей грани—другое число очков; в) на

всех выпавших гранях появится разное число очков.

во. Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньшей 0,3, можно было ожидать, что ни на одной из выпавших граней не появится шесть очков?

Р е ш е н и е . Введем обозначения событий: А—нн на одной из выпавших граней не появится 6 очков; Ai—на выпавшей грани /-й кости (/=1,2» . . . , /|) не появится 6 очков.

Интересующее нас событие А состоит в совмещении событий

Вероятность того, что на любой выпавшей грани появится число очков, не равное шести, равна Р(Л|*) = 5/6.

События Ai независивш в совокупности, поэтому применима теорема умножения:

Р(АУ^Р(АгА^ ... A„)==P(At)P(At) ... Р М„) = (б/в)»».

По условию, (5/6)« < 0,3. Следовательно, п log (5/6) < log 0,3. Отсюда, учитывая, что log (5/6) < О, найдем: п > 6,6. Таким образом, искомое число игральных костей п ^ 7 .

61. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4, можно было ожидать, что не будет ни одаого промаха?

62. В круг радиуса R вписан правильный треугольник. Внутрь круга наудачу брошены четыре точки. Найти

22

вероятности следующих событий: а) все четыре точки попадут внутрь треугольника; б) одна точка попадет внутрь треугольника и по одной точке попадет на каж­ дый «малый» сегмент. Предполагается, что вероятность попадания точки в фигуру пропорциональна площади фигуры и не зависит от ее расположения.

63. Отрезок разделен на три равные части. На этот отрезок наудачу брошены три точки. Найти вероятность того, что на каждую из трех частей отрезка попадает по одной точке. Предполагается, что вероятность попада­ ния точки на отрезок пропорциональна длине отрезка

ине зависит от его расположения.

64.В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библио­ текарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность

того, что оба учебника окажутся в переплете.

Р е ш е н и е . Введем обозначения событий: А—первый. взятый учебник имеет переплет, В—второй учебник имеет переплет. Веро­

ятность того, что первый учебник имеет переплет, Р (Л) = 3/6 = 1/2. Вероятность того, что второй учебник имеет переплет, при усло­ вии, что первый взятый учебник был в переплете, т. е. условная

вероятность события В, такова: Р^(5) = 2/5.

Искомая вероятность того, что оба учебника имеют переплет, по теореме умножения вероятностей событий равна

По табельным номерам наудачу отобраны три человека.

что первым уже был отобран мужчина, т. е. условная вероятность события В следующая: Я^ (В) = 6/9 = 2/3.

Вероятность того, что третьим будет отобран мужчина, при усло­

23

67.В ящике 10 деталей, среди которых шесть окра­ шенных. Сборщик наудачу извлекает четыре детали. Найти вероятность того, что все извлеченные детали окажутся окрашенными.

68.В урне имеется пять шаров с номерами от 1 до 5. Наудачу по одному извлекают три шара без возвращения. Найти вероятности следующих событий: а) последова­ тельно появятся шары с номерами 1, 4, 5; б) извлеченные

шары будут иметь номера I, 4, 5 независимо от того,

вкакой последовательности они появились.

69.Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.

три кубика. Найти вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3, если кубики из­ влекаются: а) без возвращения; б) с возвращением (из­ влеченный кубик возвращается в мешочек).

71.По данным переписи населения (1891 г.) Англии

иУэльса установлено: темноглазые отцы и темноглазые сыновья (АВ) составили 5?6 обследованных лиц, темно­ глазые отцы и светлоглазые сыновья (АВ)—7,9%, свет­ логлазые отцы и темноглазые сыновья (АВ)—8,9%, свет­ логлазые отцы и светлоглазые сыновья (А В)—78,2%. Найти связь между цветом глаз отца и сына.

'^^''''^^ Р(А) ^Я(ЛВ)+Р(Л5)^0Д5+0,079-^"'''^'

Найдем условную вероятность того, что сын светлоглазый, если отец темноглазый:

Рл (В) --1 —РА (В) - 1 —0,39«-0.61.

Найдем условную вероятность того, что сын темноглазый, если отец светлоглазый:

Найдем условную вероятность того, что сын светлоглазый, если отец светлоглазый: ^

Р-.(в)«1^Р-.(В)--=1—0,102=г0,898.

24

72* Найти вероятность Я (Л) по данным вероятностям: P(/15} = 0J2, Р(АВ)^0Л8.

Решение. Событие Л можно представить в виде суммы сле­ дующих двух несовместных событий: А^АВ^АВ. По теореме еложения вероятностей несовместных событий получим

73. Найти вероятность Р(АВ) по данным вероятнос­ тям: Р{А) = а, Р{В) = Ь. Р(Д+В)=г .

Р(Л5)^а —(а+6—с)=::с—6.

74.Найти вероятность Р{АВ) по данным вероят-

ностям*

Подставив в послед11ее равенство Р {АВ)==:с—Ь (см. задачу 73), получим

Р(Л5) = I —b^ic-^b) = 1 — с.

75.Наступление события АВ необходимо влечет на­

Р(-45)-ЬР iAB)-i-P (АВ)^1 —Р (Щ

иучитывая неравенство (*), получим

Р<У4)+Я (В)-Р (С)<.[Р (AB)J.P (ЛВ)Ц-(Р {АВ\-\-_Р (Тв)1- —Р (/4iJ)-.P (-45) -1-Р (АВ)-\-Р (Лв)=! —Р (.ЭВ) «^1.

25

Р(Л) + 1 ~ Р ( 5 ) - Р ( Л ) . Р д ( В ) < 1 .

или

Р ( Л ) . Р л ( В ) ^ Р ( Л ) - Р ( Б ) .

Разделив обе части неравенства на положительное число Р (Л), окончательно имеем ^

77. Наступление события ABC необходимо влечет наступление события D. Доказать, что

Р(Л) + Р(В) + Р(С) —P(D)<2.

Из трех событий Л, В, С можно составить следующую полную группу «сложных событий», состоящих из появлений и непоявлений рассматриваемых трех событий:

ABC—появились все три события,

iiBC, АВС^ ABC — появились два события, а третье не появи­ лось,

ЛВС, ABC» ЛВС"—появилось одно событие, а два других не появились,

Л^С^—не появились все три события.

26

Учитывая, что каждое слагаемое в квадратной скобке неотри­ цательно, окончательно получим

Р(А)+Р (В) + Р (С)—Р (D)<2.

78.Вывести теорему сложения вероятностей для трех совместных событий:

Применим теорему сложения вероятностей двух совместных со­ бытий дважды (для событий А и В, а также для событий АС и ВС):

Р {А + В+С)^Р {А) + Р (В) - Р (АВ) + Р (С)~ - { Р (АС) + Р (ВС) ^ Р [(АС) (ВС)]},

Учитывая, что Р [(АС) (ВС)]=Р (АВС)у окончательно получим

Р (А + В + С) = Р (А) + Р (В)-^гР (С)- '^Р(АВ)'-Р (АС)—Р (ВС) + Р (ABC),

79*. Даны три попарно независимых события Л, В, С, которые, однако, все три вместе произойти не могут. Предполагая, что все они имеют одну и ту же вероят­ ность р, найти наибольшее возможное значение р.

27

Найдем вероятности каждого из следующих событий, образую­ щих полную группу:

АЪС, В'АС, САВ, ABiT, лев, ВСА, ABC, 2ВС.

Для того чтобы найти вероятность события АВ^, представим событие АВ в виде суммы двух несовместных событий: АВ = ABC • |- 4- ABC. По теореме сложения,

Найдем вероятность события 'ABC: для этого достаточно вы­ честь из единицы сумму вероятностей остальных событий» образую­ щих полную группу:

Р [АБС] == 1 -^13 (р-^2р«)^-3р2] =:3р«—Зр+Ь Учитывая, что любая вероятность заключена между нулем и

единицей» потребуем» чтобы все найде}!ные вероятности удовлетво­ ряли этому условию:

28

р = 1/2 ± J^l/4—1/4 = 1/2. Итак, наибольшее возможное значение р=:1/2«

§ 2. Вероятность появления хотя бы одного события

хотя бы одного из событий Аи /ta» •••» An* независимых в совокуп­ ности, равна разности между единицей и произведением вероятно­ стей противоположных событий ^1, ^а> •••• Лп'

Р{А)^1--дгЯш .... Qn-

В частности, если все п событий имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

Р ( Л ) - 1~9п.

80* В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего эле­ ментов соответственно равны: р, = 0,1; р, = 0,15; р, = 0,2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.

Решение. Элементы включены последовательно, поэтому тока в цепи не будет (событие Л), если откажет хотя бы один из элементов.

Искомая вероятность

Р (А) = {^дгЯшЯ»^ I - ( I -0,1) (1 -0,15) (I ^0,2) = 0,388.

81.Устройство содерм<ит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятности отказа устрой­ ства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

82.Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4: 0,6; 0,7.

83* Три исследователя, независимо один от другого, производят измерения некоторой физической величины.

29