2.2. Динамика поступательного движения тела

Твёрдое тело (ТТ) – это тело, которое не деформируется при действии на него сил.Масса ТТ представляется в виде суммы материальных точек связанных между собой внутренними силами взаимодействияf. Различают поступательное, вращательное и колебательное движение ТТ.

При поступательном движении любая прямая проведенная в теле перемещается параллельно самой себе, а точки совершают равные по величине и направлению перемещения с одинаковой скоростью и ускорением. Поэтому, движение ТТ можно заменить одной материальной точкой С определяемой радиус-вектором. Точка С – называется центром инерции тела и совпадает с его центром тяжести рис (2.2).

Радиус-вектор и скорость центра инерции определяются из соотношений:

(2.5)

(2.6)

где - масса тела, состоящая изnматериальных точек.

Импульс Т.Т. связан со скоростью центра инерции соотношением

. (2.7)

Под действием внешних сил все точки тела движутся с ускорением

(2.8)

где =0, так как внутренние силы взаимодействияравны по величине и противоположны по направлению.

Ускорение центра инерции

(2.9)

Так как согласно второго закона Ньютона , то.

2.3. Динамика вращательного движения

При вращательномдвижении ТТ все его точки движутся по окружностям с центрами на оси вращения ( рис. 2.3).

Угловые скорости ω всех точек тела одинаковы, а линейныезависят от их расстоянийrдо оси вращения.

Рассмотрим вращение тела под действием внешней силы (рис 2.4). Через точку приложения силы перпендикулярно оси вращения проведем плоскость А. Разложим силуна параллельную оси вращенияи перпендикулярную ей_.Сила не вызывает вращения, так как действует вдоль оси. Тело вращается под действием силы , которая в плоскости А имеет составляющиеи. Силадействует вдоль направления радиусаи не может вызвать вращение тела. Следовательно, тело вращается под действием силы

=,

где α – угол между направлениями радиус-вектором и силой.

В соответствии со вторым законом Ньютона касательное ускорение точки m_i

Умножим левую и правую часть последнего равенства на r_iи

. (2.10)

В равенстве (3.6) соотношение - момент инерции материальной точки,r_i·sinα=h– плечо а=М - момент силы.

Момент инерции тела массой m, объемомVи плотностью вещества ρ определяется из соотношений:

(2.11)

В таблице приведены моменты инерции тел правильной геометрической формы

Таблица 1

Тело	Обруч, кольцо	Диск, сплошной цилиндр	Полый цилиндр	Шар	Стержень
Геометрия
Момент инерции

Момент инерции тела находящихся на расстояния dот оси вращения (рис. 2.5) определяется по теореме Штейнера

J=J_c+md². (2.12)

Если d=0 и ось проходит через центр инерции, то момент инерции определяется по формуле (3.7)

Вектор момента силы находится на оси вращения, а его направление определяется правилом правого винта поворотом векторак векторупо кратчайшему пути.

В соответсвии с равенством (2.10) на тело с моментом инерции Jвращающееся вокруг оси с угловым ускорениемдействует момент силы:

(2.13)

Произведение - называется моментом импульса тела, так как для точкиm_iсправедливо равенство.

Для изменения момента импульса справедливы равенства:

(2.14)

Для конечного промежутка времени ∆tизменение момента импульса тела.

(2.15)

Лекция 4.