Глава 3. Работа и энергия

Лекция 5

3.1. Работа. Мощность

При перемещении тела на расстояние sпод действием постоянной силыFсовершается работа.

(3.1)

где α – угол между вектором силы и направлением перемещения.

Работа, совершаемая переменной силой на участке, определяется интегрированием элементарных работdAна участкахdr(рис 3.1)

Работа постоянной силы Fна участкеr₂-r₁

.

Работа может быть положительной, если 0 ≤ α < π/2, и отрицательной, если π/2 < α ≤ π.

Если на тело действует сила перпендикулярно перемещению, то её работа А = 0.

Если на тело действует несколько сил, торезультирующаяработа равна алгебраической сумме работ всех составляющих сил(принцип независимости действия сил):

.

Скорость совершения работы определяется средней мощностью

и мгновенной мощностью

, (3.2)

где α – угол между векторами силы и скоростидвижущегося тела

Работа в СИ измеряется в джоулях (Дж). Один джоуль — это работа, совершаемая силой F= 1 Н на пути вs= 1 м при условии, что направление силы совпадает с направлением перемещения.

Мощность в СИ измеряется ваттах (Вт). Один ватт — это такая мощность, при которой совершается работа в A=1 Дж за времяt=1 с.

3.2. Энергия поступательного движения (кинетическая энергия)

Если тело массой mдвижется под действием некоторой силыи изменяет скорость на путиsотдото элементарная работа на бесконечно малом участкеds(рис. 3.2).

Работа на всём пути s

(3.3)

Величины ихарактеризуют состояние тела в его начальном и конечном положении.

Механическое состояние, зависящее от скорости движения тела, называют кинетической энергией

, (3.4)

где С– постоянная интегрирования, зависящая от выбора системы отсчета

Соотношение (3.3) можно записать в виде

.

Изменение кинетической энергии тела при переходе его из одного состояния в другое равно работе, совершаемой силой, действующей на тело в процессе этого перехода.

Если А> 0, то ΔЕ_k> 0, тело получает энергию от тел, которые являются «источником» сил, совершающих работу; если А < 0, то ΔЕ_k< 0, тело отдает энергию окружающим телам. Обладая кинетической энергией, тело способно совершить работу, т.е. отдать эту энергию другим телам (заставить их двигаться, изменять скорость или деформироваться).

Кинетическая энергия связанна с импульсом тела pсоотношением

(3.5)

И всегда положительна в любой системе отсчета.

3 Dr.3. Энергия взаимодействия (потенциальная энергия)

Энергию, которой обладает тело взаимодействуя с другими телами называют потенциальной.

Потенциальной энергией обладает, например, тело поднятое над Землей, сжатая или растянутая пружина.

Найдем потенциальную энергию системы из двух тел испытывающих гравитационное взаимодействие. Пусть два тела с массами m₁иm₂под действием силы гравитационного притяжения перемещаются относительно друг друга (рис. 3.3). Будем считать, что тело массойm₁покоится, а изменение расстояния между телами происходит в результате перемещения тела массойm₂. Тогда работу совершает лишь сила, действующей на тело массойm₂. Силазависит от расстояния между теламиrи равна гравитационной силе взаимодействия.

.

Элементарную работу силына бесконечно малом перемещении тела

.

где G= 6,67*10^-11 Нм²/кг²- гравитационная постоянная.

Полная работа при перемещении второго тела к первому на расстояние r₂

(3.6)

Работа силы гравитационного взаимодействия при изменении расстояния между телами зависит только от начального и конечного положения тел и не зависит от формы траектории перехода из начального положения в конечное.

Силы, работа которых не зависит от формы траектории, называются консервативными.

Силы, работа которых зависит от формы траектории, называются неконсервативными(силы трения, силы сопротивления при движении тела в газе или жидкости).

Величина в соотношении (3.6) является функцией параметров состояния одного тела относительно другого и называется потенциальной энергией их взаимодействия. Изменение потенциальной энергии не зависит от формы траектории тела при его переходе из одного состояния в другое.

Работа силы гравитационного взаимодействия положительна, так как инаправлены одинаково. Однако, численное значение 1-го слагаемого в соотношении (3.6) меньше численного значения 2-го слагаемогоr₁>r₂. НеравенствоЕ_п1–Е_п2> 0 будет выполнено, еслиЕ_п1иЕ_п2 будут отрицательны:

,

где С – постоянная интегрирования.

Постоянная интегрирования С находится из условия, что при потенциальная энергия взаимодействия двух телЕ_п= 0, тогда 0 = − 0 +С, и

С = 0.

Потенциальная энергия двух взаимодействующих тел с массами m₁ иm₂ находящихся на расстоянииrдруг от друга

. (3.7)

Энергия, как и работа, в системе СИ измеряется в джоулях (Дж).

Потенциальная энергия взаимодействующих тел связана с консервативной силой, обусловливающей это взаимодействие.

Предположим, что тело под действием силы переместилось в произвольном направлениина бесконечно малое расстояниеdr(рис. 4.4). Тогда работа

, (3.8)

где - проекция силы на направление.

Так как сила Fконсервативна, то для нее справедливо соотношение

,

Сравнивая последнее равенство с (4.8) получим

,

. (3.9)

Из последнего равенства следует:

1) если в направлении потенциальная энергия возрастает, то. Это означает, что направление силыобразует с направлениемугола проекция этой силыпротивоположна направлению возрастания потенциальной энергии;

2) если потенциальная энергия вдоль убывает, то, угол междуи направлениема проекция силысовпадает с направлением убывания потенциальной энергии.

Изменение потенциальной энергии связанно с проекциями силы соотношениями:

.

Зная проекции силы , можно записать вектор силы в декартовой системе координат:

,

или

(3.10)

Вектор, стоящий в скобках, называется градиентом потенциальной энергии.

Консервативная сила, действующая на тело, равна по величине и противоположна по направлению градиенту потенциальной энергии.

Градиент потенциальной энергии – это вектор, быстрейшего возрастания потенциальной энергии модуль которого равен ее изменению.