- •Механика
- •Оглавление
- •Глава 1. Кинематика материальной точки
- •Глава 2. Динамика
- •Глава 3. Работа и энергия
- •Глава 4. Законы сохранения в механике
- •Глава 5. Механические волны
- •Глава 6. Молекулярное движение
- •Глава 7. Основы термодинамики
- •Глава 1. Кинематика материальной точки
- •Кинематика поступательного движения
- •Понятия и определения
- •Модуль вектора ускорения
- •1.2. Уравнения движения
- •1.2.1 Равномерно, прямолинейно движение.
- •1.2.2 Ускоренное, прямолинейное движение
- •1.2.3 Кинематика вращательного и колебательного движения Вращательное движение
- •При постоянной угловой скорости , угловой путь и угол поворота определяется из равенств:
- •Колебательное движение
- •Для самостоятельного изучения
- •1.3.1 Модуль касательного и нормального ускорения.
- •1.3.2 Равномерное криволинейное движение.
- •Сложение гармонических колебаний
- •1.4 Задания для самоконтроля знаний.
- •Глава 2. Динамика
- •2.1 Законы Ньютона.
- •2.2. Динамика поступательного движения тела
- •2.3. Динамика вращательного движения
- •2.4. Динамика колебательного движения
- •2.5. Принцип относительности Галилея. Неинерциальные системы отсчета
- •2.6 Для самостоятельного изучения
- •2.6.1. Понятие силы. Равнодействующая сила
- •2.6.2. Силы гравитационного взаимодействия
- •2.6.3.Силы трения
- •2.6.4.Сила вязкого трения и сопротивления среды.
- •2.6.5.Сила упругости. Закон Гука.
- •6. Колебания математического и физического маятников
- •2.7. Задания для самоконтроля знаний
- •Глава 3. Работа и энергия
- •3.1. Работа. Мощность
- •3.2. Энергия поступательного движения (кинетическая энергия)
- •И всегда положительна в любой системе отсчета.
- •3 Dr.3. Энергия взаимодействия (потенциальная энергия)
- •3.4. Работа и энергия вращательного движения
- •3.5. Энергия колебательного движения
- •3.6. Для самостоятельного изучения
- •3.6.1. Потенциальная энергия тела относительно поверхности Земли
- •3.6.2. Работа силы тяжести
- •3.6.3. Потенциальная энергия пружины
- •3.6.4. Потенциальный барьер и яма
- •3.7. Задание для самоконтроля знаний.
- •Лекция 6
- •Глава 5. Законы сохранения в механике
- •5.1 Закон сохранения импульса
- •5.2 Закон сохранения момента импульса
- •При составлении равенства (5.5) учтено, что и.
- •5.3 Закон сохранения энергии
- •5.4 Для самостоятельного изучения
- •5.4.2 Абсолютно неупругий удар
- •5.5. Задание для самоконтроля знаний
- •Глава 6. Механические волны
- •6.1 Продольные и поперечные волны
- •6.3.Задания для самоконтроля знаний.
- •Глава 7.Молекулярное движение
- •7.1 Размеры и масса молекул
- •7.2. Движение и столкновение молекул газа
- •7.3 Давление и температура.
- •7.4 Скорость и энергия молекул [распределение Максвелла]
- •7.5 Диффузия, внутреннее трение, теплопроводность.
- •7.6 Давление идеального газа на стенку
- •7.7 Уравнение состояния идеального газа
- •Глава 8. Основы термодинамики
- •8.1. Термодинамическая система. Внутренняя энергия идеального газа
- •8.2. Работа и теплопередача
- •8.3. Первое начало термодинамики, термодинамические изопроцессы.
- •8.4 Теплоемкость
- •8.5 Обратимые и необратимые процессы. Термодинамическая вероятность. Энтропия.
- •8.6 Изменение энтропии в изопроцессах
- •8.7 Тепловая машина. Цикл Карно.
- •8.8. Для самостоятельного изучения
- •1. Второе начало термодинамики
- •Вес тела – сила, приложенная к опоре или подвесу, которые удерживают тело от свободного падения. При неподвижной опоре (подвесе) или при их равномерном движении вес тела равен силе тяжести.
- •Второй закон Ньютона - ускорение , материальной точкой в инерциальной системе отсчета прямопропорционально действующей силе, обратно пропорционально массе и совпадает по направлению с силой.
- •Вес тела – сила, приложенная к опоре или подвесу, которые удерживают тело от свободного падения. При неподвижной опоре (подвесе) или при их равномерном движении вес тела равен силе тяжести.
2.4. Динамика колебательного движения
Рассмотрим динамику колебательного движения на примере колебания груза массой m, подвешенного к пружине (рис 2.6). В состоянии равновесия, сила тяжести грузауравновешивается силой упругости пружины. Для выбранного направления оси х:
,
Fупр =mg,
где Fупр =kΔl(закон Гука), Δl=l-l0 , l0– длина пружины без груза.
Выведем груз из положения равновесия и дадим ему возможность двигаться вдоль оси Х. Под действием сил тяжести и упругости груз будет совершать движение с ускорениемасогласно уравнениям:
(2.16)
Введём обозначение , тогда
. (2.17)
Равенство (2.17) называется дифференциальным уравнением свободных колебаний. Координата смещения груза относительно его положения равновесия, определяется из решения уравнения (2.17) и равна
(2.18)
где А – амплитуда (максимального смещения груза от положения равновесия),
- циклическая частота,- фаза колебания,- начальная фаза колебания.
Период колебания
(2.19)
частота . (2.20)
Если груз колеблется в среде, то он испытывает ее сопротивление.
При малых смещениях груза от положения равновесия сила сопротивления
, (2.21)
где r– коэффициент сопротивления. Среды,v– скорость движения груза
С учетом силы сопротивления дифференциальное уравнение движения груза имеет вид
. (2.22)
Разделим обе части уравнения (2.22) на m, перенесем все слагаемые умножим на 1 в левую часть и введем обозначения,, тогда
(2.23)
где - коэффициент затухания.
В результате решения дифференциального уравнения (2.23) координата смещения груза
(2.24)
где и- амплитуда колебаний и фаза в момент времениt=0,
- циклическая частота затухающих колебаний (рис 2.7).
Затухающие колебания не являются гармоническими, так как амплитуда этих колебаний убывает по экспоненциальному закону
. (2.25)
Циклическая частота ω и период Т затухающих колебаний определяются из соотношений:
, (2.26)
(2.27)
где ω0частота свободных колебаний тела.
Период определённый из последнего соотношения называется условным периодом затухающих колебаний.
Условный период затухающих колебаний – наименьший промежуток времени Т, за который груз дважды проходит через положение равновесия, двигаясь в одном и том же направлении.
Период затухающих колебаний больше периода свободных колебаний.
Отношение двух амплитуд затухающих колебаний в моменты времени tи
(2.28)
называется декрементом затухания. Натуральный логарифм этого отношения называетсялогарифмическим декрементомзатухания
(2.29)
Логарифмический декремент затухания характеризует затухание колебаний за период, а коэффициент затухания за единицу времени.
Время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз называется временем релаксации τ.
,
(2.30)
Коэффициент затухания – это величина, обратная времени релаксации и определяет число колебаний за единицу времени.
За время τ система совершит колебаний.
Логарифмический декремент затухания равен обратному числу колебаний, совершаемых системой за время релаксации.
(2.31)
Если на груз, кроме упругой силы и силы сопротивления, будет действовать внешняя периодическая сила, то он будет совершать вынужденные колебания.
При внешней силе дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид
, (2.32)
В результате решения дифференциального уравнения (2.32) координаты смещения груза х = х1+ х2,
где - соответствует затухающему колебанию,
- вынужденному.
Затухающие колебания происходят в начальный момент времени и их амплитуда уменьшается с течением времени.
Поэтому в результате действия внешней периодической силы долгое время совершаются колебания
(2.33)
где , (2.34)
(2.35)
Амплитуда колебаний зависит от частот внешней силы Ω и свободных колебаний ω0.
Для Ω << ω0,
, (2.36)
Ω >> ω0,
, (2.37)
.
Для частоты внешней силы
(2.38)
наступает резонанс, когда амплитуда максимальна и зависит от коэффициента затухания и частоты свободных колебаний
(2.39)