4.2 Багатофакторний експеримент

В багатьох задачах проектування і дослідження характеристик технічних пристроїв необхідно знайти оптимальний розв’язок, тобто знайти найкраще поєднання внутрішніх параметрів і зовнішніх факторів, які б давали найвищі узагальнювальні показники ефективності пристрою.

Наприклад, узагальнювальним показником ефективності деяких пристроїв технологічної автоматики електричних станцій може бути коефіцієнт підсилення сигналу, надійність, точність або відсоток виходу продукції при хімічних реакціях. На цей показник, який називається параметром оптимізації, впливає низка внутрішніх і зовнішніх факторів. Зовнішніми факторами є механічні, кліматичні, електричні навантаження, співвідношення компонентів взаємодіючих речовин, час дії тощо. Внутрішніми факторами є номінальні значення і розкид параметрів елементів, варіантів схемно-конструктивних рішень, маса, режим роботи тощо.

Задача полягає в тому, щоб виявити, які зовнішні і внутрішні фактори мають суттєвий вплив на параметр оптимізації, який кількісний ступінь цього впливу. Іншими словами, необхідно знайти залежність цього параметра оптимізації від усіх суттєвих факторів (знайти модель). Далі досліджується ця модель з метою пошуку такого поєднання факторів і таких числових значень їх рівнів, які давали б найбільше (або найменше) значення узагальнювального параметра оптимізації. Таким чином, потрібно планувати і обробляти експеримент не тільки для пошуку на початку моделі, але і для знаходження оптимальної схеми, конструкції, технологічного процесу. При цьому характерною особливістю є спільна, а не роздільна дія факторів.

Факторний експеримент - це доволі складний і розгалужений метод. Тут він поданий в спрощеному вигляді, при необхідності потрібно звертатися до спеціальної літератури. В наш час факторному експерименту в технічній літературі і в практиці надається дуже багато уваги.

4.2.1 Вибір моделі

Вибір моделі полягає у виборі виду функції

, (4.25)

де Y – узагальнювальний показник (параметр оптимізації), який характеризує ефективність пристрою (системи) і дозволяє проводити оптимізацію; екстремум Y відповідає оптимальній системі;

- чинники (зовнішні і внутрішні), які впливають на значення функції Y, набувають оптимальних значень при екстремумі Y.

Задача експерименту полягає в тому, щоб визначити кількісні значення констант (коефіцієнтів) цього рівняння. Звичайно функцію вибирають у вигляді відрізків ступеневих рядів – алгебраїчних поліномів. Зокрема, для двох факторів поліноми мають виг-ляд:

нульового ступеня ; (4.26)

першого ступеня ; (4.27)

другого ступеня; (4.28)

третього ступеня

(4.29)

Модель повинна бути достатньо точною, тобто бути близькою до

фактичної залежності. Тоді говорять, що вона адекватна. В кожній конкретній задачі дослідник вибирає модель, проводить експеримент, а потім за його результатами перевіряють адекватність моделі. Дуже часто гарною моделлю є поліном першого ступеня (лінійна модель).

4.2.2 Повний факторний експеримент

На підставі апріорної інформації (результати попередніх однофак-торних дослідів, розрахунки) оцінюють межі зміни факторів. При цьому враховують принципові обмеження (наприклад, для температури нижньою межею буде абсолютний нуль), техніко-економічні обмеження – вартість, дефіцитність, час дослідів, а також можливості апаратури, технології тощо.

В цих межах для кожного фактора потрібно вибрати основний рівень і інтервал варіювання, які і будуть безпосередньо використані при плануванні експерименту. Інтервали факторів повинні дозволяти знайти оптимальний стан, основні рівні повинні бути приблизно в центрі інтервалів.

Часто вводять так називане кодування значення фактора , яке визначають за формулою:

, (4.30)

де - фактичне значення фактора;

- фактичне значення основного рівня;

- інтервал варіювання;

- номер фактора.

Для якісних факторів, що мають два рівня, верхній рівень позначають +1, а нижній -1, порядок їх не має значення. Верхній рівень фактора знаходять як суму основного рівня і інтервалу варіювання, нижній – як їх різницю.

Як приклад в таблиці 4.2 наведені фактичні і кодовані значення факторів для умов досліду з чотирма факторами.

В повному факторному експерименті (ПФЕ) реалізуються всі можливі сполучення рівнів факторів. Якщо кількість рівнів кожного фактора дорівнює двом (верхній і нижній), то маємо повний факторний експеримент типу . Загальна кількість дослідів дорівнює, деk - кількість факторів. Якщо в досліді використовують тільки верхній і нижній рівні факторів, то кодовані значення факторів будуть, відповідно, +1 і –1; для простоти запису одиниці можна не писати.

Умови експерименту записують у вигляді матриць планування експерименту, де рядки відповідають різним дослідам, а стовпці – значенням факторів.

Таблиця 4.2 - Фактичні і кодовані значення факторів для умов досліду з чотирма факторами.

Значення факторів
Основний рівень	3	30	1,5	15
Інтервал варіювання	2	10	1	10
Верхній рівень	5	40	2,5	25
Нижній рівень	1	20	0,5	5
Натуральні значення факторів в конкретному досліді	2	20	1,25	15
Кодовані значення	-0,5	-1	-0,25	0

Таблиця 4.3 -Приклад таблиці планування для двох факторів 2².

Номер досліду	x1	x2	y
1	-1	-1	y1
2	+1	-1	y2
3	-1	+1	y3
4	+1	+1	y4

За результатами експерименту знаходять значення коефіцієнтів за формулою:

. (4.31)

Зокрема, для моделі і двох факторів:

; (4.32)

; (4.33)

. (4.34)

Значення коефіцієнта для кожного фактора відповідає внеску даного чинника в параметр оптимізації при переході фактора з нульового рівня на верхній або нижній. Внесок, визначений при переході від нижнього рівня до верхнього, називається ефектом фактора (іноді його називають основним або головним ефектом). Він чисельно дорівнює подвоєному коефіцієнту.

Якщо є підстава вважати що модель нелінійна, то потрібно її ускладнити. Один з видів нелінійності, які часто зустрічаються, пов’язаний з тим, що ефект одного фактора залежить від рівня, на якому знаходиться інший фактор. В цьому випадку говорять, що має місце ефект взаємодії двох факторів. ПФЕ дозволяє кількісно оцінювати ефекти взаємодії. Для цього потрібно, користуючись правилом перемноження стовпців, отримати стовпець добутку двох факторів. Для ПФЕ 2² матриця планування з урахуванням ефекту взаємодії наведена в таблиці 4.4.

Таблиця 4.4 - Матриця планування з урахуванням ефекту взаємодії

Номер досліду	x0	x1	x2	x1, x2	y
1	+1	+1	+1	+1	y1
2	+1	-1	+1	-1	y2
3	+1	-1	-1	+1	y3
4	+1	+1	-1	-1	y4

Тут x₀ (фіктивний фактор) вводиться для зручності обчислень. Тепер модель має вигляд:

. (4.35)

Коефіцієнт обчислюється за формулою:

. (4.36)

Інший спосіб обчислення (метод Йєйтса) дає наступні формули для повного факторного експерименту 2²:

; (4.37)

; (4.38)

; (4.39)

. (4.40)

Зі збільшенням кількості факторів матриця планування ускладнюється. Загальні правила складання таких матриць: а) частота зміни знаків в кожному наступному стовпці зменшується в два рази; б) додавання кожного нового фактора збільшує кількість дослідів удвічі (спочатку для “+” нового фактора, потім стільки ж дослідів для “-“).

Для трьох факторів ПФЕ має більше взаємодій. Матриця наведена в таблиці 4.5.

ПФЕ має чотири важливі властивості:

1. Симетричність відносно центра експерименту – алгебраїчна сума елементів векторстовпців кожного фактора дорівнює 0, тобто

, (4.41)

де j – номер фактора ;

i – номер досліду;

n – кількість дослідів.

2. Умова нормування: сума квадратів елементів кожного стовпця дорівнює кількості дослідів:

. (4.42)

Це є наслідком того, що значення факторів в матриці задаються та-кими, що дорівнюють +1 і –1.

3. Ортогональність матриці планування: сума добутків складових будь-яких факторів - стовпців матриці дорівнює 0:

і j=u, u=0, 1, 2, 3, …, k. (4.43)

4. Ротатабельність матриці планування: точки в матриці планування підбираються так, що точність передбачення значень параметра оптиміації однакова на рівних відстанях від центра досліду і не залежить від напрямку.

Таблиця 4.5 - Матриця для трьох факторів ПФЕ.

Номер досліду	Х0	Х1	Х2	Х3	Х1 Х2	Х1 Х3	Х2 Х3	Х1 Х2 Х3	Y
1	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	Y1
2	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	Y2
3	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	Y3
4	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	Y4
5	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	Y5
6	+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	Y6
7	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	Y7
8	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1	Y8