2.1.2 Постановка задачі в загальному вигляді

Дано:

а) вихідний параметр y може залежати (з фізичних міркувань) від n незалежних факторів x₁, x_2, ..., x_i, ..., x_n, що не мають кількісного опису, і їхніх парних взаємодій (використовуємо єдине позначення для змінних керованих x, некерованих z, неконтрольованих w);

б) кожен фактор x може варіюватися на u₁ рівнях;

в) повний факторний експеримент складається з N = u₁ u₂ ... u_i ... u_n серій незалежних спостережень по числу всіх можливих сполучень (які не повторюються) рівнів n факторів;

г) будь-яка j-а серія містить m_j спостережень y_j1, y_j2, ..., y_jl, ..., y_jmj дослідів, які дублюються.

Потрібно: визначити, наскільки суттєвим на фоні випадкових похи-бок є вплив того чи іншого фактора x_i або комбінації (взаємодії) таких фак-торів на вихідний параметр y, провести порівняння з іншими факторами і виділити найбільш важливі.

3. Припущення, на яких базується дисперсійний аналіз

Припущення 1. Величина у - нормально розподілена випадкова величина з центром розподілу і з дисперсією.

Це вимоги стаціонарності зміни випадкової величини у. Таким чином, фактори визначають усереднену величину у, залишаючи простір для випадкових помилок спостережень, які підпорядковуються нормальному за­кону.

Припущення 2. Дисперсія одиничного спостереження , обумов-лена випадковими помилками, постійна в усіх дослідженнях і не залежить від, тобто дисперсіїбудуть дорівнювати одна одній приj = 1,2,…,N, а їх вибіркові оцінки будуть однорідні - це умова відтворення дослідів.

Кожне із цих припущень необхідно перевіряти за результатами дослідницького експерименту.

З даних задачі та зазначених припущень зрозуміло, що чим більший вплив деякого фактора х на вихідний параметр у , тим більше розходження між со­бою середніх арифметичних серій паралельних спостережень, проведених при різних сполученнях рівнів варіювання досліджуваних факторів. Статистичний аналог такого розходження вказує на суттєвий вплив факторів.

При двох серіях спостережень порівняння середніх і перевірка нуль-гіпотези здійснюються за допомогою t-критерію методом Стьюдента. В сформульованій задачі вимагається одночасно довільно порівняти велику кількість середніх і на основі цього зробити висновок про значимість впливу того чи іншого фактора.

2.1.4 Ідея дисперсійного аналізу

Щоб мати можливість оцінити вплив кожного фактора на вихідний параметр і порівняти вплив різних факторів, визначимо деякий показник цього впливу.

Нехай за відсутності помилок досліду при варіюванні факто-рах на різних рівнях отримані фактичні значення вихідного параметрау. Тоді показник впливу фактора х приймаємо величину, яку називають, по аналогії зі звичайною, дисперсією фактора х, тобто

(2.1)

де .

При цьому треба мати на увазі, що числа у_і не є випадковими і тому дисперсія не пов’язана ні з якою випадковою величиною, так як ми припускаємо, що.

Вивчати вплив факторів за величинами їх дисперсій зручно, оскільки це простіша міра розсіювання і, до того ж, аналогічна мірі впливу фактора випадкових причин, тобто аналогічна дисперсії одиничного спостереження (відтворення) . Завдяки цьому є можливість порівнювати вплив будь-якого досліджуваного і випадкового факторів. Таке дослідження факторів за їх дисперсіями називається дисперсійним аналізом. Цей аналіз був вве-дений в 20-х роках нашого сторіччя Р.А.Фішером і розвинений Йєйтсом.

Розглянемо ідею дисперсійного аналізу на прикладі вивчення впли-ву одного фактора на фоні випадкових похибок, коли дисперсія відтво-рення відома. При варіюванні факторах на u рівнях в результаті спо-стережень отримаємо значення , розсіювання яких можна характеризувати вибірковою дисперсією:

(2.2)

з числом мір свободи .

Якщо різниця між s² і σ² незначна, то з цього випливає, що розкид спостережень, який зумовлений цією різницею, пов’язаний лише з випад-ковими причинами. Тому вплив фактора х незначний, якщо різниця між s² і σ² значна, підвищений розкид спостережень викликаний не лише випад-ковими причинами. Цей розкид спостережень також викликаний впливом фактора х, який тепер необхідно визнати суттєвим.

Оскільки в останньому випадку додаються впливи двох незалежних факторів - випадкових причин (з дисперсією ²) і фактора х (з дисперсією _х²), що призводить до загального розсіювання спостережень, то загальна дисперсія буде сумою двох вище вказаних , а її оцінка буде

. (2.3)

Тому дисперсія фактора визначається за виразом

(2.4)

У загальному випадку, коли дисперсія відтворення ² невідома, схе-ма дисперсійного аналізу повинна дозволити знайти її оцінку поряд з оцін-ками дисперсій досліджуваних факторів. З цією метою планується прове-дення серій дублюючих дослідів але кожного з усіх можливих сполучень рівнів досліджуваних факторів.

Таким чином, основна ідея дисперсійного аналізу полягає в розкла-денні загальної дисперсії s² на складові, які залежать від випадкових причин, від кожного з розглянутих факторів і від їх взаємодії , а також в оцінці статистичної значимості дисперсій останніх з урахуванням похибки відтворення досліду.

Розглянемо лише найпростіші способи застосування дисперсійного аналізу, техніка проведення якого доволі різноманітна.

5. Однофакторний аналіз

Розглянемо вплив лише одного фактора х.

Таблиця 2.1 - Результати експерименту

№l дублюючого досліду номер j рівня фактора х	1 2 … l … m
1	2	3
1	y11 y12 … y1l … y1m
2	y21 y22 … y2l … y2m
…	...	…
J	yj1 yj2 … yjl … yjm
…	…	…
u	yu1 yu1 … yul … yum

В таблиці 2.1 записані результати експерименту (um) спостере-жень. Індекс j - порядковий номер рівня варіювання фактора, l - по-рядковий номер дублюючого досліду в серії на кожному j-му рівні, (для спрощення розрахунків, не порушуючи загальності вис-новків, розглянемо спочатку випадок рівно кількісних спостережень на всіх рівнях, тобтоm₁= m₂=…= m_j=…= m_u=m).

За такого розташування спостережень розсіювання між стовпцями буде визначатися помилкою відтворення, а розсіювання між рядками – до-датковою дією досліджуваного фактора.

Розрахуємо середнє арифметичне серій ізm повторних спостере-жень для кожного j-го рівня фактора

(2.5)

і загальне середнє арифметичне у всіх u·m спостережень за всіма u рівнями

. (2.6)

Розсіювання окремих спостережень відносно загального середнього обумовлено дією випадкових причин і впливом факторів. Дія фактора випадковості проявляється (з дисперсією ² ) в розсіюванні спостережень серій дублюючих дослідів на кожному рівні х навколо середнього ариф-метичного своєї серії.

Вплив фактора х (з дисперсією _х²) викликає підвищене розсіюван-ня середніх серій відносно загального середнього. Кожне з цих трьох роз-сіювань можна охарактеризувати відповідною сумою квадратів відхилень.