3. Формула для сложения колебаний в общем случае для плоских волн.

где фазовая модуляция равна

,

Картинки приведены для Е₁/E₂ = 1,31,2,0,2;2.5,0,25.

Видно сложное устройство суммарных колебаний.

4. Вынужденные колебания.

Реальные колебания всегда являются затухающими, всегда происходит потеря энергии из-за наличия трения, из-за нагрева сопротивления.

Для получения незатухающих колебаний нужно возвращать системе потерянную энергию. Для этого на систему действует вынуждающая сила, причем для возникновения колебаний она должна быть периодической. Рассмотрим случай, когда сила меняется по гармоническому закону

.

По второму закону Ньютона для механических колебаний

,

(1)

- дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Это линейное неоднородное уравнение второго порядка. Решение таких уравнений состоит из двух слагаемых

Это решение стремится к нулю при больших временах и существенно только при переходных процессах. Мы будем рассматривать только установившиеся колебания, то есть ограничимся анализом частного решения. Частное решение имеет вид

,

где ,

.

Явление резонанса.

Это явление резкого увеличения амплитуды колебаний, когда частота вынуждающей силы близка к частоте собственных колебаний системы. Амплитуда является функцией частоты и будет максимальна, если знаменатель минимален. Исследуем знаменатель на экстремум. Берем от подкоренного выражения первую производную и приравняем ее нулю

. Тогда

5. Затухающие колебания.

Все реальные свободные колебания являются затухающими. Осциллятор теряет свою энергию со временем и колебания прекращаются. Осциллятор является диссипативной системой. Причиной затухания является наличие силы трения (сопротивления). При малых скоростях , где- коэффициент сопротивления. По второму закону Ньютона

- дифференциальное уравнение для затухающих колебаний.

Решение этих уравнений имеет вид

Анализ:

1) Амплитуда затухающих колебаний , амплитуда затухающих колебаний зависит от.

растет (затухание растет) 2) - частота затухающих колебаний;- колебания существуют,- колебаний нет. Существует апериодический процесс. Система приходит в равновесие без колебаний.

3) Период колебаний ,.

Характеристики скорости затухания.

1) Коэффициент затухания ,.

2) Время релаксации.

Любой процесс, имеющий затухающий характер, характеризуется временем релаксации. Время релаксации – это характеристика скорости затухания колебания, равная времени, за которое амплитуда колебания уменьшается в е- раз.

Отсюда

,

3) Логарифмический декремент затухания – это характеристика скорости затухания, равная натуральному логарифму отношения двух соседних амплитуд, отличающихся со временем на период

,.

Величина, обратная логарифмическому декременту, равна полному числу колебаний за время релаксации.

4) Добротность .

- это число полных колебаний за время релаксации, умноженное на. Рассмотрим физический смысл добротности на примере колебательного контура.

- полная энергия колебательного контура в момент

Определим

. Еслимало, тои

.

Добротность колеблющейся системы пропорциональна отношению энергии системы в любой момент к ее убыли за период.

Если затухание мало, контур длительное время сохраняет запасенную энергию, то - мало, а- велико. Добротность такого контура высока.