Лекция 7 Колебания и волны.

Колебанием называется любое движение, любой физический процесс, характеризующийся ьой или иной степенью повторяемости.

Примеры: колебания груза на пружине, колебания струны, движение троллейбуса по маршруту, ежедневный приход на занятия и т.п.

По характеру временной зависимости колебания делятся на периодические и апериодические. Минимальный промежуток времени, по прошествии которого система возвращается в исходное положение и все ее параметры принимают исходные значения называется периодом.

Если Т = const, то колебания периодические, если Т ≠const, то апериодические (не периодические). Колебательных процессов много: механические, электромагнитные, электромеханические и т.п. Природа этих процессов разная, а законы одни, все эти явления описываются единым математическим аппаратом, существует единая теория колебаний. Учение о колебаниях развили советские физики акад. Мандельштам и Папалекси в 30 годы.

1. Свободные гармонические колебания. Гармонический осциллятор.

Периодические колебания называются гармоническими, если они описываются законами sinилиcos. Любая колеблющаяся система, любой физический процесс, описываемый законамиsinилиcosназывается гармоническим осциллятором или просто осциллятором.

Примеры:

2. Задача о колебании груза на пружине.

Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний

Первоначально система находится в равновесии

Систему вывели из положения равновесия на . Деформация будет.

По второму закону Ньютона Преобразуем выражение к виду . Обозначим . Получим . Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Оно описывает колебания

груза на пружине. Решение его есть

,

,

что проверяется непосредственной подстановкой.

3. Задача о физическом маятнике.

Физический маятник– это любое твердое тело, колеблющееся относительно оси, не проходящей через его центр.

Если ось проходит через центр тяжести, то тело находится в состоянии безразличного равновесия и колебаться не будет. Ось вращения проходит через точку О. Центр тяжести

Находится в точке С. ОС =а, - угол поворота. В точке С приложена сила тяжести, в точке О – сила реакции, она направлена вертикально вверх. Поскольку она проходит через ось вращения, то ее момент равен нулю. Вращающий момент создает сила. . Этот вращающий момент стремится вернуть тело к положению равновесия.

По второму закону Ньютона

Знак (-) означает, что тело стремится в равновесие. Теперь

.

Это нелинейное дифференциальное уравнение, в него входит . Поэтому в общем случае физический маятник колеблется не по гармоническому закону. Рассмотрим частный случай, когдамало и=. Тогда

,,,.

Уравнение

- это однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Оно описывает гармонические колебания.

4. Задача о математическом маятнике.

Это частный случай физического маятника. Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити. (Груз, подвешенный на нерастяжимой длинной нити, размерами груза по сравнению с длиной нити можно пренебречь): - формула Гюйгенса.

При многих расчетах удобно представить формулу периода физического маятника как математического. Вводят приведенную длину физического маятника

.

Тогда

.

Приведенной длиной физического маятника называется длина такого маятника, период колебания которого равен периоду колебания данного физического маятника. Экспериментально, введя , определяютлюбого маятника. Подбирают длину математического маятника, чтобы. Тогда. Определяяи, находят.

Продолжим рассмотрение гармонических колебаний.

1) - смещение колеблющегося тела от положения равновесия в любой момент времени (или значение осциллирующего параметра в момент времени).

2) - амплитуда – максимальное отклонение от положения равновесия, или максимальное значение осциллирующего параметра,всегда.

3) - фаза колебания, измеряется в радианах, фаза определяет значение осциллирующего параметра в любой момент времени.- начальная фаза в нулевой момент времени.

4) - собственная циклическая (круговая) частота.

Связь и.

Рассмотрим значение осциллирующего параметра в моменты и, где- период. По определениюони должны быть одинаковы.

,

,

=.

- наименьший промежуток времени, через который смещение повторилось. Поэтому аргументымогут отличаться на.

,,

,,,,

- число колебаний за 1 с,- число колебаний зас.