3. Моменты инерции тел различной формы.

Рассчитаем моменты инерции некоторых тел при различном расположении оси вращения.

1.Кольцо (тонкостенный цилиндр), ось вращения проходит через центр масс. (рис.3).

Рис.3а. Рис.3б.

Пусть кольцо (цилиндр) имеет радиус и массу. Для расчета используем формулу. В этом случаедля всех элементарных масс. Поэтому.

2. Однородный стержень, ось вращения проходит через конец стержня.

Разобьем стержень на несколько частей длинойс массой, расположенных на разных расстоянияхот оси вращения. Чем больше разбиений, тем точнее можно сосчитать момент инерции (рис.4). Поэтому удобней сумму заменить интегрированием:

где - масса всего стержня. Введем плотность и выразим через нее массу.

Рис.4.

,

где - объем элемента стержня площадью поперечного сеченияи длины. Тогда,

где - длина стержня. После интегрирования получаем:

,

где - объем всего стержня. Таким образом

.

Если ось вращения стержня проходит через центр масс стержня, то

.

В таблице 1 приведены значения моментов инерции некоторых тел.

Таблица 1

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R	Ось симметрии	mR2
Сплошной цилиндр или диск радиусом R	Ось симметрии	(1/2)mR2
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину	(1/12)ml2
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец	(1/3)ml2
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара	(2/5)mR2

Если известен момент инерции относительно оси проходящей через центр масс, то можно найти момент инерции относительно некоторых других осей по теореме Штейнера:

(15)

Момент инерции твердого тела относительно любой оси равен моменту инерции относительно оси параллельной данной и проходящей через центр масс тела плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

Рис.5.

Применим теорему Штейнера для определения момента инерции однородного стержня, длиной . Пусть. Величина( смотри таблицу). Тогда

Рис.6.

.

4. Момент силы относительно неподвижной точки.

Моментом силы относительно неподвижной точки 0 называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора, проведенного из точки 0 в точкуаприложения силы, на силу

(16)

Рис.7.

Направление вектора совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении отк. Модуль момента силы равен

,

где - угол междуи, а- кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой 0 называется плечом силы.

5. Момент силы относительно неподвижной оси.

Моментом силы относительно неподвижной оси zназывается скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки 0 данной осиz. Значение моментане зависит от выбора точки 0 на осиz.

Рис. 8.

В частном случае, если ось zсовпадает с направлением вектора М, величина момента силы относительно точки, совпадает с моментом силы относительно оси.

Рассмотрим систему материальных точек, к которым приложены силы. Моментом всех сил, действующих на систему материальных точек относительно неподвижной точки, называется векторная сумма моментов отдельных сил относительно той же точки.

(18)

Моментом всех сил, действующих на систему материальных точек относительно неподвижной оси называется алгебраическая сумма моментов отдельных сил относительно той же оси,

(19)