Программирование итерационных вычислительных процессов

6.1. Цель работы. Получение практических навыков алгоритмизации и програ-ммирования простых циклических процессов , число повторений которых не задано.

6.2. Справочный материал. В основе простых итерационных вычислений некоторой величины Y лежит рекуррентная формула для которой каждое последующее приближение определяется через предыдущее, а начальное - задается

Y_i+1 = f( Y_i ) , i=0,1,...,N-1, (1.6.1)

где i-номер итерации; N - номер итерации, на которой обрывается процесс вычислений.

При этом начальное приближение Y₀ ( нулевая итерация ) выбирается по

определенным правилам или задается заранее.

Численное значение N определяется из выполнения условия cходимости итераций

| Y_i+1 - Y_i | ≤Е , (1.6.2)

и считается, что величина Y = Y_N вычислена с заданной точностью Е [I, 1-2].

6.3. Пример. Подготовить и организовать на ПЭВМ итерационные вычисления по рекуррентной формуле

Y_i+1 = 1 / 2 * (X_i / Y_i + Y_i ) , i=0,1,...,N-1 (1.6.3)

с заданной точностью E. Значение аргумента X, начальное приближение Y₀ и точность вычислений Е, задается следующим образом:

X = 4.5 ; Y = 0.9 * X ; E = 10^-3; ( 1.6.4a )

X = 2 ; Y = 1 ; E = 10^-2 . ( 1.6.4б )

Для удобства программирования запишем Y в виде

Y₀ = R * X^k, (1.6.5 )

тогда для случая (6.4а) значения множителя R и степени k соответственно равны

R = 0.9 ; k = 1 , а для случая ( 6.4б ) R = 1 ; k = 0 .

Алгоритм решения задачи основывается на циклических вычислениях по рекуррентной формуле (6.3) и проверки выполнения условия (6.2).При этом алгоритм решения задачи должен предусматривать запоминание значений Y на i+1 и i итерациях (Y и Z).Текст БЭЙСИК - программы алгоритма решения задачи для примера 6.3 приведен ниже

10 Input "Введите значения X,r,k,e" ; X,r,k,e

20 I = 0 : Y = R * X ^ K

30 Z = Y

40 Y = (X / Y + Y ) / 2 : I = I + 1

50 IF ABS(Y - Z) > E THEN 30

60 PRINT "ЧИСЛО ИТЕРАЦИЙ ="; I

70 PRINT "ЗНАЧЕНИЕ Y ="; Y

80 END

Ввод данных :

Введите значения X,R,K,E ? 4.5,0.9,1,1E-3

Введите значения X,R,K,E ? 2,1,0,1E-2

Результаты :

ЧИСЛО ИТЕРАЦИЙ = 4

ЗНАЧЕНИЕ Y = 2.12132

ЧИСЛО ИТЕРАЦИЙ = 3

ЗНАЧЕНИЕ Y = 1.414216

6.4. Задание к лабораторной работе. Подготовка и организация на ПЭВМ итерационных вычислений по рекуррентной формуле и исходным данным из табл. 6.1. (вариант соответствует порядковому номеру фамилии студента в списке группы).

Таблица 6.1

Номер варианта	Рекуррентная формула	Значение аргумента X	Начальное приближ ние Y0	Точность вычисле ний Е
1	Yi+1 = ( 4Yi + X / Yi) / 5	X = 226 X = 19.2	Y0=0.5X Y0 = X	0.001 0.0001
2	Yi+1= ( 6Yi + X / Yi) / 7	X = 898 X =186	Y0 = 0.4X Y0 = X	0.0001 0.001
3	2 Yi+1 = ( 1.5 - Yi / ( 2 X ))	X = 9.3 X = 15.6	Y0 = 0.5X Y0 = 2	0.001 0.0001
4	2 2 Yi+1 = Yi ( Yi + 3X ) / ( 3Yi + X )	X = 4.7 X =3.69	9Y0 = 0.5X Y0 = 2.4	0.001 0.0001
5	2 Yi+1 = Yi / 2 + 1.5 X / ( 2 Yi +X / Yi )	X = 14.6 X = 19.7	Y0 = X Y0 = 0.3X	0.001 0.0001
6	_____ Yi+1 =  1.3Yi + 2.4		Y0 = 2.5 Y0 = 1.3	0.001 0.0001
7	2 Yi+1 = 5.7 + 1.2 / Yi		Y0 = 0.4 Y0 = 0.5	0.001 0.0001
8	___ 2 Yi+1 = 0.4 (  Yi / ( Yi + 0.2 Yi )		Y0 = 3.8 Y0 = 5.2	0.001 0.01
9	2 __ Yi+1 = 0.5 ( 1.5 / ( Yi + 1 ) +  Yi )		Y0 = 25 Y0 = 35	0.001 0.0001
10	3 Yi+1 = ( Yi / ( Yi +1 ) + Yi ) / 2		Y0 = 2.0 Y0 = 3.0	0.01 0.001
11	2 Yi+1 = ( Yi / ( Yi + 2 ) +Yi ) / 3		Y0 = 4.0 Y0 = 5.0	0.01 0.001
12	2 4 __ Yi+1 = ( ( Yi +1) / ( Yi +4.5 ) +  Yi ) / 3		Y0 = 1.3 Y0 = 2.9	0.01 0.001
13	3 3__ Yi+1 = ( (Yi + 2 X ) / (Yi +2.3 )+Yi ) / 4	X = 1.2 X = 3.6	Y0 = 4.9 X Y0 = 13.2	0.001 0.0001
14	2 Y i+1 = ( ( Yi - 1 ) / (Yi + 2 ) + 1 ) / 2		Y0 = 5.8 Y0 = 4.5	0.001 0.0001
15	_____ Yi+1 = ( ( 1.8 / ( Yi +1 ) + 2  Yi + 1 ) / 2 где i = 0 , 1 , ... , N- 1		Y0 = 5.2 Y0 = 4.3	0.001