- •Информатика и математическое моделирование функциональных систем
- •Isbn 5-94826-033-X
- •Введение
- •Програмирование задач на языке basic
- •Программирование линейных вычислительных процессов
- •1.2. Справочный материал.
- •1.5. Вопросы для самопроверки
- •Программирование разветвляющихся алгоритмов
- •2.3. Пример:
- •20 Input “a b “ ; a , b input “a b “ ; a , b
- •2.4. Задание к лабораторной работе.
- •Определённые циклы
- •20 Print “!---------------------!-------------------------!---------------------------!»
- •Input “X, m%, h% “ ; X , m% , h%
- •4.4. Задания к лабораторной работе.
- •Input “X m h “ ; X , m% , h
- •Программирование итерационных вычислительных процессов
- •10 Input "Введите значения X,r,k,e" ; X,r,k,e
- •6.5. Вопросы для самопроверки
- •7.5. Вопросы для самопроверки
- •20 Rem Ввод элементов исходного массива q
- •30 Read X( I ) : next I
- •160 Next I
- •160 Next j
- •150 Next j
- •9.5. Вопросы для самопроверки
- •40 Read X( I ) : next I
- •45 Data 1, 2.1, -3, -4.1, 1.7, 1.8, 1.9, 14.2, -5, -4.3, 11.2, 10.8
- •140 Return
- •90 Read X( I ) : next I
- •100 Data 1, 2.1, -3, -4.1, 1.7, 1.8, 1.9, 14.2, -5, -4.3, 11.2, 10.8
- •10.5. Вопросы для самопроверки
- •40 Data ------------
- •11.5. Вопросы для самопроверки
- •Литература к главе 1
- •2. Программирование задач в системе math cad
- •РешЕние систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы
- •2.5. Вопросы для самопроверки.
- •Решение нелинейного уравнения графическим методом
- •3.5. Вопросы для самопроверки.
- •Решение НелинейноГо уравнениЯ МетодОм простых итераций
- •3.5. Вопросы для самопроверки.
- •Решение нелинейного уравнения методом касательных
- •4.3. Пример.
- •4.5. Вопросы для самопроверки.
- •Решение систем Нелинейных уравнений графическим методом
- •6.5. Вопросы для самопроверки.
- •Решение систем Нелинейных уравнений методом пРостых итерацй
- •6.3. Пример.
- •6.5. Вопросы для самопроверки
- •Численное интегрирование:метод прямоугольников и трапеций, формула симсона
- •7.5. Вопросы для самопроверки.
- •Численное решение обыкновеНноГо дифференциального уравнениЯ МетодОм эЙлера и рунге-кутта
- •8.5. Вопросы для самопроверки
- •Численное решение систем обыкновеНнЫх дифференциальных уравнениЙ МетодОм эЙлера
- •9.4. Задание. Самостоятельно задать матрицу с и вектор правых частей r и численно решить полученную приведенную систему обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера.
- •9.5. Вопросы для самопроверки
- •9.5.3. Какие явные или неявные разностные схемы используются при численном решении приведенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера? Литература к главе 2
- •3. Математическое моделирование на пэвм
- •3.1. Системы сосредоточенными массами
- •3.1.1. Математическое моделирование теплообмена для тел сосредоточенных масс с окружающей средой
- •3.1.2. Собственные колебания
- •Лабораторная работа № 3.1 исследование автономной линейной системы уравнений
- •Лабораторная работа №3.2. Исследование автономной нелинейной системы уравнений
- •Лабораторная работа №3.3. Решение жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (оду)
- •3.1.3. Математическая модель стабильности позвоночника
- •Результаты численных расчетов
- •3.2. Системы с распределенными параметрами
- •3.2.1. Математическое моделирование процесса переноса частиц
- •3.2.2. Математическое моделирование процесса прерванного посола рыбы
- •Отметим, что критерий устойчивости счета методом прогонки к ошибкам округления выполнен так как
- •Как следует из рекуррентных соотношений (3.2.32), для начала расчета необходимо иметь значения e1 и w1, которые определяются с помощью левого граничного условия (3.2.23)
- •3.2.3. Моделирование процесса переноса частиц на основе гиперболической системы уравнений
- •3.2.4. Математическое моделирование нестационарного двумерного процесса переноса частиц (теплопереноса)
- •Система разностных уравнений (3.96) дополнялась начальными и граничными условиями (3.91 и 3.92 – 3.95) и решалась методом обыкновенной прогонки попеременно в двух направлениях.
- •3.3. Повышение порядка точности аппроксимации дифференциальных уравнений
- •3.3.1. Повышение порядка точности аппроксимации обыкновенных дифференциальных уравнений
- •3.3.2. Повышение порядка точности аппроксимации дифференциальных уравнений гиперболического типа
- •3.4. Интерполяция функций
- •3.4.1. Линейная интерполяция
- •3.4.2 Квадратичная интерполяция
- •3.4.3. Интерполяционная формула Лагранжа
- •3.4.4. Сплайны
- •3.4.5.Алгоритм решения обратных задач по заданным показателям качества
- •Литература к главе 3
- •Информатика и математическое моделирование функциональных систем
3.5. Вопросы для самопроверки.
3.5.1. Каким образом представить решаемое уравнение в итерационной форме?
3.5.2. Условие сходимости итерационного процесса.
2.4. Лабораторная работа № 4 C:\USERS\GROUP\NOF\lab4.mcd
Решение нелинейного уравнения методом касательных
4.1. Цель работы. Получить практические навыки алгоритмизации и программирования решения нелинейного уравнения методом касательных с применением шаблонов графики и производных.
4.2. Справочный материал. Задано нелинейное уравнение и начальное приближение в виде:
F(x) = 0, xa,b;
x0 = const (2.4.1)
Алгоритм построения решения нелинейных уравнений методом касательных сводится к следующему. Через точку (х0, F(x0)) проводится касательная, как это показано на рис. 4.1, по формуле
y(x1) – y(x0) = F’(x0)·(x1 – x0). (2.4.2)
Учитывая, что у(х1) = 0, а y(x0) = F(x0) и выражая явно х1, получим
x1 = x0 - . (2.4.3)
Рис.4.1. К выводу итерационной формулы метода касательных
Указанная процедура повторяется N раз, для которых обобщая итерационную формулу (2.4.3), получим
xi+1 = xi - , i = 0, 1, …, N-1. (2.4.4)
Считается, что итерационный процесс сошелся, если выполнилось условие
, i = 0, 1, …, N. (2.4.5)
Этот итерационный процесс более чувствителен к начальному приближению, чем в методе простой итерации, однако сходится быстрее. Отметим, что рассматрваемый интервал a,b может содержать только один корень. Так как, алгоритм не изменяется при поиски различных корней нелинейного уравнения, то их поиск определяется только заданием значений начальных приближений.
Процесс поиска решения, как и во всяком итерационном методе, складывается из трех этапов:
1. Нахождения начального приближения.
2. Проверки условий сходимости.
3. Построение итерационного процесса.
Первый этап - нахождение начального приближения - описан в предыдущих работах (№ 2 и № 3).
4.3. Пример.
4.3.1. Для уравнения с одним корнем (2.3.1) методом касательных приближено вычислить значение корня.
Рис. 4.2. Развитие итерационного процесса вычисления корня хк
Как следует из рис. 4.2, число итераций необходимых для их сходимости, равно N = 1, что подтверждает и выполнения условия сходимости итераций (см. табл.). Значение корня нелинейного уравнения (2.3.1), равно хк = 1.93.Отметим ,что корень уравнения лежит в области локализации т.к. выполнено условие (3.3.5) (pf(x1) ≤1 ).
4.3.2. Для уравнения с тремя корнем (2.3.3) методом касательных приближено вычислить значения корней. Определяем корень х1к.
Рис. 4.3. Развитие итерационного процесса вычисления корня х1к
Как следует из рис. 4.3, число итераций необходимых для их сходимости, равно N = 2, что подтверждает и выполнения условия сходимости итераций (см. табл.). Значение корня нелинейного уравнения (2.3.1), равно х1к = - 2.94. Отметим ,что корень уравнения лежит в области локализации т.к. выполнено условие (3.3.5) (pf(x2) ≤1 ).
Определяем корень х2к.
Как следует из рис. 4.4, число итераций необходимых для их сходимости, равно N = 1, что подтверждает и выполнения условия сходимости итераций (см. табл.). Значение корня нелинейного уравнения (2.3.1), равно х1к = - 0.11. Отметим ,что корень уравнения лежит в области локализации т.к. выполнено условие (3.3.5) (pf(x1) ≤1 ).
Рис. 4.4. Развитие итерационного процесса вычисления корня х2к
Определяем корень х3к.
Рис. 4.4. Развитие итерационного процесса вычисления корня х3к
Как следует из рис.4.4, число итераций необходимых для их сходимости, равно N = 2, что подтверждает и выполнения условия сходимости итераций (см. табл.). Значение корня нелинейного уравнения (2.3.1), равно х1к = 3.05. Отметим ,что корень уравнения лежит в области локализации т.к. выполнено условие (3.3.5) (pf(x1) ≤1 ).
4.4. Задание. Методом касательных решить то же уравнение, которое дано в 3.4.