![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Информатика и математическое моделирование функциональных систем
- •Isbn 5-94826-033-X
- •Введение
- •Програмирование задач на языке basic
- •Программирование линейных вычислительных процессов
- •1.2. Справочный материал.
- •1.5. Вопросы для самопроверки
- •Программирование разветвляющихся алгоритмов
- •2.3. Пример:
- •20 Input “a b “ ; a , b input “a b “ ; a , b
- •2.4. Задание к лабораторной работе.
- •Определённые циклы
- •20 Print “!---------------------!-------------------------!---------------------------!»
- •Input “X, m%, h% “ ; X , m% , h%
- •4.4. Задания к лабораторной работе.
- •Input “X m h “ ; X , m% , h
- •Программирование итерационных вычислительных процессов
- •10 Input "Введите значения X,r,k,e" ; X,r,k,e
- •6.5. Вопросы для самопроверки
- •7.5. Вопросы для самопроверки
- •20 Rem Ввод элементов исходного массива q
- •30 Read X( I ) : next I
- •160 Next I
- •160 Next j
- •150 Next j
- •9.5. Вопросы для самопроверки
- •40 Read X( I ) : next I
- •45 Data 1, 2.1, -3, -4.1, 1.7, 1.8, 1.9, 14.2, -5, -4.3, 11.2, 10.8
- •140 Return
- •90 Read X( I ) : next I
- •100 Data 1, 2.1, -3, -4.1, 1.7, 1.8, 1.9, 14.2, -5, -4.3, 11.2, 10.8
- •10.5. Вопросы для самопроверки
- •40 Data ------------
- •11.5. Вопросы для самопроверки
- •Литература к главе 1
- •2. Программирование задач в системе math cad
- •РешЕние систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы
- •2.5. Вопросы для самопроверки.
- •Решение нелинейного уравнения графическим методом
- •3.5. Вопросы для самопроверки.
- •Решение НелинейноГо уравнениЯ МетодОм простых итераций
- •3.5. Вопросы для самопроверки.
- •Решение нелинейного уравнения методом касательных
- •4.3. Пример.
- •4.5. Вопросы для самопроверки.
- •Решение систем Нелинейных уравнений графическим методом
- •6.5. Вопросы для самопроверки.
- •Решение систем Нелинейных уравнений методом пРостых итерацй
- •6.3. Пример.
- •6.5. Вопросы для самопроверки
- •Численное интегрирование:метод прямоугольников и трапеций, формула симсона
- •7.5. Вопросы для самопроверки.
- •Численное решение обыкновеНноГо дифференциального уравнениЯ МетодОм эЙлера и рунге-кутта
- •8.5. Вопросы для самопроверки
- •Численное решение систем обыкновеНнЫх дифференциальных уравнениЙ МетодОм эЙлера
- •9.4. Задание. Самостоятельно задать матрицу с и вектор правых частей r и численно решить полученную приведенную систему обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера.
- •9.5. Вопросы для самопроверки
- •9.5.3. Какие явные или неявные разностные схемы используются при численном решении приведенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера? Литература к главе 2
- •3. Математическое моделирование на пэвм
- •3.1. Системы сосредоточенными массами
- •3.1.1. Математическое моделирование теплообмена для тел сосредоточенных масс с окружающей средой
- •3.1.2. Собственные колебания
- •Лабораторная работа № 3.1 исследование автономной линейной системы уравнений
- •Лабораторная работа №3.2. Исследование автономной нелинейной системы уравнений
- •Лабораторная работа №3.3. Решение жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (оду)
- •3.1.3. Математическая модель стабильности позвоночника
- •Результаты численных расчетов
- •3.2. Системы с распределенными параметрами
- •3.2.1. Математическое моделирование процесса переноса частиц
- •3.2.2. Математическое моделирование процесса прерванного посола рыбы
- •Отметим, что критерий устойчивости счета методом прогонки к ошибкам округления выполнен так как
- •Как следует из рекуррентных соотношений (3.2.32), для начала расчета необходимо иметь значения e1 и w1, которые определяются с помощью левого граничного условия (3.2.23)
- •3.2.3. Моделирование процесса переноса частиц на основе гиперболической системы уравнений
- •3.2.4. Математическое моделирование нестационарного двумерного процесса переноса частиц (теплопереноса)
- •Система разностных уравнений (3.96) дополнялась начальными и граничными условиями (3.91 и 3.92 – 3.95) и решалась методом обыкновенной прогонки попеременно в двух направлениях.
- •3.3. Повышение порядка точности аппроксимации дифференциальных уравнений
- •3.3.1. Повышение порядка точности аппроксимации обыкновенных дифференциальных уравнений
- •3.3.2. Повышение порядка точности аппроксимации дифференциальных уравнений гиперболического типа
- •3.4. Интерполяция функций
- •3.4.1. Линейная интерполяция
- •3.4.2 Квадратичная интерполяция
- •3.4.3. Интерполяционная формула Лагранжа
- •3.4.4. Сплайны
- •3.4.5.Алгоритм решения обратных задач по заданным показателям качества
- •Литература к главе 3
- •Информатика и математическое моделирование функциональных систем
3.4. Интерполяция функций
Пусть y = f (x) – некоторая функция, для которой известна лишь таблица ее значений, т. е. известно, что при значениях аргумента x = x0, x1, …, xn функция принимает соответственно значения у0, у1, … , уn:
f
(x0)
= y0;
f (x1) = y1; (3.4.1)
………….
f (xn) = yn.
Y
y0 y1 y2 yn-1 yn
x0
x1
x2
xn-1
xn
X
Рис.3.28. Узлы интерполяции (x0, y0), (x1, y1), … , (xn, yn), штрихованные линии промежуточных значений функций
Фактически задача отыскания функции f(x) по заданным ее значениям в узлах означает, что мы должны построить кривую, проходящую через точки плоскости с координатами (x0, y0), (x1, y1), … , (xn, yn) (см. рис.3.28) [III, 16].
В дальнейшем будем обозначать через F(x) любую функцию, которая в узлах принимает заданные значения. При этом функций F(x) может быть бесконечное множество.
Основная идея применения интерполяционных формул состоит в том, что функция y = f(x), для которой известна лишь таблица значений (рис.3.28), заменяется интерполяционным многочленом, который рассматривается как приближенное аналитическое выражение для функции f(x)
F(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + … + an xn. (3.4.2)
При этом, естественно, возникает вопрос о степени точности такого приближения и оценках погрешности, возникающей при замене f(x) на F(x) при различных действиях.
Замена функции f(x) её интерполяционным многочленом используется для отыскания промежуточных значений функций (штрихованные линии на рис.3.28), а также, когда аналитическое выражение для f(x) известно, но является слишком сложным, а функция f(x) должна подвергаться различным математическим операциям (например, интегрированию).
Таким образом, задача интерполирования формулируется следующим образом:
рассматриваемая функция f(x), для которой заданы значения yi = f (xi) (i=0, 1 ,2, … , n), причем все xi и yi известны. Требуется определить многочлен у= F(x) степени n, для которого F(xi)= f (xi) (i=0, 1 ,2, … , n).
Для вычисления неизвестных коэффициентов a0, a1, a2, … , an, входящих в интерполяционный многочлен (3.4.2), необходимо решить систему уравнений, состоящую из n+1 уравнений с n+1 неизвестными:
a0 + a1 x0 + a2 x02 + a3 x03 + … + an x0n = у0
a0 + a1 x1 + a2 x12 + a3 x13 + … + an x1n = у1
……………………………………………………………….. (3.4.3)
a0 + a1 xn + a2 xn2 + a3 xn3 + … + an xnn = уn
Определив значения коэффициентов a0, a1, a2, … , an из системы уравнений (3.4.3), мы и получим интерполяционный многочлен F(x), дающий решение поставленной задачи.