![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Информатика и математическое моделирование функциональных систем
- •Isbn 5-94826-033-X
- •Введение
- •Програмирование задач на языке basic
- •Программирование линейных вычислительных процессов
- •1.2. Справочный материал.
- •1.5. Вопросы для самопроверки
- •Программирование разветвляющихся алгоритмов
- •2.3. Пример:
- •20 Input “a b “ ; a , b input “a b “ ; a , b
- •2.4. Задание к лабораторной работе.
- •Определённые циклы
- •20 Print “!---------------------!-------------------------!---------------------------!»
- •Input “X, m%, h% “ ; X , m% , h%
- •4.4. Задания к лабораторной работе.
- •Input “X m h “ ; X , m% , h
- •Программирование итерационных вычислительных процессов
- •10 Input "Введите значения X,r,k,e" ; X,r,k,e
- •6.5. Вопросы для самопроверки
- •7.5. Вопросы для самопроверки
- •20 Rem Ввод элементов исходного массива q
- •30 Read X( I ) : next I
- •160 Next I
- •160 Next j
- •150 Next j
- •9.5. Вопросы для самопроверки
- •40 Read X( I ) : next I
- •45 Data 1, 2.1, -3, -4.1, 1.7, 1.8, 1.9, 14.2, -5, -4.3, 11.2, 10.8
- •140 Return
- •90 Read X( I ) : next I
- •100 Data 1, 2.1, -3, -4.1, 1.7, 1.8, 1.9, 14.2, -5, -4.3, 11.2, 10.8
- •10.5. Вопросы для самопроверки
- •40 Data ------------
- •11.5. Вопросы для самопроверки
- •Литература к главе 1
- •2. Программирование задач в системе math cad
- •РешЕние систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы
- •2.5. Вопросы для самопроверки.
- •Решение нелинейного уравнения графическим методом
- •3.5. Вопросы для самопроверки.
- •Решение НелинейноГо уравнениЯ МетодОм простых итераций
- •3.5. Вопросы для самопроверки.
- •Решение нелинейного уравнения методом касательных
- •4.3. Пример.
- •4.5. Вопросы для самопроверки.
- •Решение систем Нелинейных уравнений графическим методом
- •6.5. Вопросы для самопроверки.
- •Решение систем Нелинейных уравнений методом пРостых итерацй
- •6.3. Пример.
- •6.5. Вопросы для самопроверки
- •Численное интегрирование:метод прямоугольников и трапеций, формула симсона
- •7.5. Вопросы для самопроверки.
- •Численное решение обыкновеНноГо дифференциального уравнениЯ МетодОм эЙлера и рунге-кутта
- •8.5. Вопросы для самопроверки
- •Численное решение систем обыкновеНнЫх дифференциальных уравнениЙ МетодОм эЙлера
- •9.4. Задание. Самостоятельно задать матрицу с и вектор правых частей r и численно решить полученную приведенную систему обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера.
- •9.5. Вопросы для самопроверки
- •9.5.3. Какие явные или неявные разностные схемы используются при численном решении приведенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера? Литература к главе 2
- •3. Математическое моделирование на пэвм
- •3.1. Системы сосредоточенными массами
- •3.1.1. Математическое моделирование теплообмена для тел сосредоточенных масс с окружающей средой
- •3.1.2. Собственные колебания
- •Лабораторная работа № 3.1 исследование автономной линейной системы уравнений
- •Лабораторная работа №3.2. Исследование автономной нелинейной системы уравнений
- •Лабораторная работа №3.3. Решение жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (оду)
- •3.1.3. Математическая модель стабильности позвоночника
- •Результаты численных расчетов
- •3.2. Системы с распределенными параметрами
- •3.2.1. Математическое моделирование процесса переноса частиц
- •3.2.2. Математическое моделирование процесса прерванного посола рыбы
- •Отметим, что критерий устойчивости счета методом прогонки к ошибкам округления выполнен так как
- •Как следует из рекуррентных соотношений (3.2.32), для начала расчета необходимо иметь значения e1 и w1, которые определяются с помощью левого граничного условия (3.2.23)
- •3.2.3. Моделирование процесса переноса частиц на основе гиперболической системы уравнений
- •3.2.4. Математическое моделирование нестационарного двумерного процесса переноса частиц (теплопереноса)
- •Система разностных уравнений (3.96) дополнялась начальными и граничными условиями (3.91 и 3.92 – 3.95) и решалась методом обыкновенной прогонки попеременно в двух направлениях.
- •3.3. Повышение порядка точности аппроксимации дифференциальных уравнений
- •3.3.1. Повышение порядка точности аппроксимации обыкновенных дифференциальных уравнений
- •3.3.2. Повышение порядка точности аппроксимации дифференциальных уравнений гиперболического типа
- •3.4. Интерполяция функций
- •3.4.1. Линейная интерполяция
- •3.4.2 Квадратичная интерполяция
- •3.4.3. Интерполяционная формула Лагранжа
- •3.4.4. Сплайны
- •3.4.5.Алгоритм решения обратных задач по заданным показателям качества
- •Литература к главе 3
- •Информатика и математическое моделирование функциональных систем
Лабораторная работа № 3.1 исследование автономной линейной системы уравнений
Задание. Исследовать следующую систему дифференциальных уравнений:
(3.1.18)
Порядок выполнения работы:
Зададим матрицу правых частей А и находим собственные значения λ (3.14)
ORIGIN:= 1;
A:=;
EIGENVALS(A)
=
.
(3.19)
Собственные числа λ действительны и имеют разные знаки. Точка покоя - седло.
Для разных начальных условий решаем задачу Коши и строим фазовые кривые:
D(t,x):=; x:=
;
x1:=rkfixed(x,0,1,100,D), (3.20)
где х1-матрица решений, имеющая три столбца (первый - время t, второй - х1 и третий - х2).
Рис.3.3. Фазовые кривые для разных начальных условий
И, наконец, построим векторное поле вектора решений Х
Рис.3.4. Векторное поле
Лабораторная работа №3.2. Исследование автономной нелинейной системы уравнений
Задание: Решить следующую систему дифференциальных уравнений:
(3.1.21)
Рис.3.5. Фазовые траектории и временные развертки
Зададим вектор правых частей системы уравнений (3.1.21)
ORIGIN:=1;
D(t,x):=.
(3.1.22)
2) Для двух начальных условий находим решение системы дифференциальных уравнений (3.21) и строим фазовые траектории и временную развертку, которые приведены на рис.3.5.
Лабораторная работа №3.3. Решение жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (оду)
Строгого математического обоснования численного решения жестких ОДУ не существует. Исторически, интерес к жестким системам возник при изучении уравнений химической кинетики, где одновременно присутствуют очень медленно и очень быстро протекающие химические реакции. Рассмотрим классическую модель взаимодействия трех веществ:
(3.1.23)
Необходимо отметить, что коэффициенты, входящие в систему жестких обыкновенных дифференциальных уравнений (3.1.23), отличаются на несколько порядков при разных слагаемых [III, 14].
Задание. Решить систему жестких дифференциальных уравнений (3.1.23).
1) Зададим вектора правых частей F(t, y), начальных условий y0 и матричную функцию J(t, y), составленную из производных правой части системы уравнений (3.1.23).
.
(3.1.24)
2) Попробуем решить задачу (3.23-3.24) методом Рунге-Кутта.
Рис.3.6. Результаты численного решения системы жестких обыкновенных дифференциальных уравнений (3.1.23) методом Рунге-Кутта
Теперь решим эту же систему уравнений методом Булирша-Штера, разработанного для жестких ОДУ и основанного на неявных разностных схемах.
Рис.3.7. Результаты численного решения системы жестких обыкновенных дифференциальных уравнений (14), методом Булирша-Штера
Сопоставление результатов численных расчетов, приведенных на рис.3.5-3.7, свидетельствуют о том, что метод Рунге-Кутта оказался непригоден для решения системы жестких обыкновенных дифференциальных уравнений.
Задание. Исследовать численные решения следующих систем дифференциальных уравнений:
1) По лабораторной работе №3.1. «Исследование автономной нелинейной системы уравнений». Задать следующие значения коэффициентов, входящих в правую часть системы уравнений (3.13), и при этих значениях найти ее решение:
Таблица 3.2
-
№
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
а11
0
4
2
3
4
0
1
9
-1
1
а12
1
0
3
4
3
2
2
8
2
-2
а21
2
5
0
5
2
0
3
7
-3
3
а22
3
6
4
0
1
3
4
6
4
-4
2) По лабораторной работе №3.2. «Исследование автономной нелинейной системы уравнений». Задать произвольные значения коэффициентов, входящих в правую часть системы уравнений (3.21), и при этих значениях найти ее решение.
3) По лабораторной работе №3.3. «Исследование жесткой нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений». Задать произвольные значения коэффициентов, входящих в правую часть системы уравнений (3.23), и при этих значениях найти ее решение.