- •Информатика и математическое моделирование функциональных систем
- •Isbn 5-94826-033-X
- •Введение
- •Програмирование задач на языке basic
- •Программирование линейных вычислительных процессов
- •1.2. Справочный материал.
- •1.5. Вопросы для самопроверки
- •Программирование разветвляющихся алгоритмов
- •2.3. Пример:
- •20 Input “a b “ ; a , b input “a b “ ; a , b
- •2.4. Задание к лабораторной работе.
- •Определённые циклы
- •20 Print “!---------------------!-------------------------!---------------------------!»
- •Input “X, m%, h% “ ; X , m% , h%
- •4.4. Задания к лабораторной работе.
- •Input “X m h “ ; X , m% , h
- •Программирование итерационных вычислительных процессов
- •10 Input "Введите значения X,r,k,e" ; X,r,k,e
- •6.5. Вопросы для самопроверки
- •7.5. Вопросы для самопроверки
- •20 Rem Ввод элементов исходного массива q
- •30 Read X( I ) : next I
- •160 Next I
- •160 Next j
- •150 Next j
- •9.5. Вопросы для самопроверки
- •40 Read X( I ) : next I
- •45 Data 1, 2.1, -3, -4.1, 1.7, 1.8, 1.9, 14.2, -5, -4.3, 11.2, 10.8
- •140 Return
- •90 Read X( I ) : next I
- •100 Data 1, 2.1, -3, -4.1, 1.7, 1.8, 1.9, 14.2, -5, -4.3, 11.2, 10.8
- •10.5. Вопросы для самопроверки
- •40 Data ------------
- •11.5. Вопросы для самопроверки
- •Литература к главе 1
- •2. Программирование задач в системе math cad
- •РешЕние систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы
- •2.5. Вопросы для самопроверки.
- •Решение нелинейного уравнения графическим методом
- •3.5. Вопросы для самопроверки.
- •Решение НелинейноГо уравнениЯ МетодОм простых итераций
- •3.5. Вопросы для самопроверки.
- •Решение нелинейного уравнения методом касательных
- •4.3. Пример.
- •4.5. Вопросы для самопроверки.
- •Решение систем Нелинейных уравнений графическим методом
- •6.5. Вопросы для самопроверки.
- •Решение систем Нелинейных уравнений методом пРостых итерацй
- •6.3. Пример.
- •6.5. Вопросы для самопроверки
- •Численное интегрирование:метод прямоугольников и трапеций, формула симсона
- •7.5. Вопросы для самопроверки.
- •Численное решение обыкновеНноГо дифференциального уравнениЯ МетодОм эЙлера и рунге-кутта
- •8.5. Вопросы для самопроверки
- •Численное решение систем обыкновеНнЫх дифференциальных уравнениЙ МетодОм эЙлера
- •9.4. Задание. Самостоятельно задать матрицу с и вектор правых частей r и численно решить полученную приведенную систему обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера.
- •9.5. Вопросы для самопроверки
- •9.5.3. Какие явные или неявные разностные схемы используются при численном решении приведенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера? Литература к главе 2
- •3. Математическое моделирование на пэвм
- •3.1. Системы сосредоточенными массами
- •3.1.1. Математическое моделирование теплообмена для тел сосредоточенных масс с окружающей средой
- •3.1.2. Собственные колебания
- •Лабораторная работа № 3.1 исследование автономной линейной системы уравнений
- •Лабораторная работа №3.2. Исследование автономной нелинейной системы уравнений
- •Лабораторная работа №3.3. Решение жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (оду)
- •3.1.3. Математическая модель стабильности позвоночника
- •Результаты численных расчетов
- •3.2. Системы с распределенными параметрами
- •3.2.1. Математическое моделирование процесса переноса частиц
- •3.2.2. Математическое моделирование процесса прерванного посола рыбы
- •Отметим, что критерий устойчивости счета методом прогонки к ошибкам округления выполнен так как
- •Как следует из рекуррентных соотношений (3.2.32), для начала расчета необходимо иметь значения e1 и w1, которые определяются с помощью левого граничного условия (3.2.23)
- •3.2.3. Моделирование процесса переноса частиц на основе гиперболической системы уравнений
- •3.2.4. Математическое моделирование нестационарного двумерного процесса переноса частиц (теплопереноса)
- •Система разностных уравнений (3.96) дополнялась начальными и граничными условиями (3.91 и 3.92 – 3.95) и решалась методом обыкновенной прогонки попеременно в двух направлениях.
- •3.3. Повышение порядка точности аппроксимации дифференциальных уравнений
- •3.3.1. Повышение порядка точности аппроксимации обыкновенных дифференциальных уравнений
- •3.3.2. Повышение порядка точности аппроксимации дифференциальных уравнений гиперболического типа
- •3.4. Интерполяция функций
- •3.4.1. Линейная интерполяция
- •3.4.2 Квадратичная интерполяция
- •3.4.3. Интерполяционная формула Лагранжа
- •3.4.4. Сплайны
- •3.4.5.Алгоритм решения обратных задач по заданным показателям качества
- •Литература к главе 3
- •Информатика и математическое моделирование функциональных систем
3.2.3. Моделирование процесса переноса частиц на основе гиперболической системы уравнений
В отличие от диффузионной постановки процесса переноса частиц, которая приведена выше, уравнения непрерывности и движения частиц, образующие гиперболическую систему, содержат инерционные члены и имеют следующей вид:
; (3.2.28)
,
где - скорость звука в среде;N, V, m – концентрация, скорость и масса частицы [III, 17-19].
Численное решение гиперболического уравнения непрерывности (3.2.28) при постоянной скорости частиц. Для случая V0 = const уравнение непрерывности для частиц имеет вид:
. (3.2.29)
Начальные условия. Начальные значения концентрации зададим равным
N(x,0) = 1027 м-3. (3.2.30)
Характеристиками уравнения (3.2.29) являются прямые линии, для которых
. (3.2.31)
Уравнение каждой из таких прямых может быть представлено в следующем виде:
x – V0t = const . (3.2.32)
Только постоянная будет для каждой из прямых своя, которая как бы нумерует эти прямые. Поэтому можно говорить, что постоянная является «номером» прямой семейства, задаваемой уравнением (3.2.32). Нарисуем на плоскости (x, t) прямые линии, вдоль которых (рис.3.16). Для конкретности зададим скорость частицV0 =1м/с, так как скорость частиц является тангенсом угла наклона характеристики (см. формулу (3.82)), а V0 =1м/с, то угол наклона прямой будет равен 450.
t
j=1
j=0
x0 xn x
Рис.3.16. Семейство характеристик уравнения (3.2.28) при V0 > 0
Рассмотрим функцию N(x, t) и вычислим ее производную вдоль характеристики при предположении, что функцияN(x, t) дифференцируема.
. (3.2.33)
Равенство нулю полной производной =0 означает постоянствоN(x, t) вдоль каждой из характеристик. Естественно, на разных прямых эта постоянная может быть различной. Таким образом, значение N(x, t) в (x, t) зависит лишь от «номера» той прямой, на которой лежит точка, т. е. N(x, t) = f(x – V0t). Значение x – V0t является «номером» прямой.
В соответствие с наклоном характеристик строится разностная схема численного решения гиперболических уравнений (схемы бегущего счета), и задаются граничные условия на правой или левой границе. Так для рассматриваемого случая V0 > 0, приведенного на рис.3.16, когда информация передается на правую границу при переходе с временного слоя j = 0 на слой j =1 и последующие по характеристикам, при этом краевые условия на правой границе не задаются. В это же время необходимо задавать краевые условия на левой границе, так как на нее не приходит ни одна характеристика. В том случае, если приходится решать гиперболическое уравнение методом прогонки, то необходимо использовать само уравнение (3.2.29) для задания краевого условия для той границы, на которую приходят характеристики.
В этом случае дифференциальное уравнение в частных производных гиперболического типа (3.80), аппроксимируется следующей системой разностных уравнений:
или , (3.2.34)
где χ = ;i = 1, 2, …, n; j = 0, 1, …k-1. Остальные обозначения соответствуют обозначениям, приведенным в разд. 3.2.2.
Разностные уравнения (3.2.34) необходимо дополнить краевым условиям на левой границе. Для этого используем краевые условия 1 – го рода:
N(0, t) = 1028 м-3 или в разностном виде N0,j+1 = 1028. (3.2.35)
Численное решение гиперболического уравнения (3.2.29) по рекуррентной разностной схеме (3.2.33) сводится к следующему. Используя начальные условия (3.2.30) и краевое условие на левой границе, рассчитываем значение концентрации частиц в первой пространственной точке и на первом временном слое N1,1, по найденному значению концентрации N1,1 вычисляем N2,1 и т. д. пока не определим значение концентрации частиц на правой границе Nn,1. Затем переходим на следующий временной слой, и вычислительный процесс будет продолжаться по алгоритму, описанному для расчета искомой функции на первом временном слое до тех пор, пока не определятся значения функции Ni,j во всех узлах разностной сетки.
Для случая V0 < 0 (V0 = - 1м/с) тангенс угла наклона становится отрицательным, а соответственно – угол больше 900 и характеристики теперь приходят на левую границу, как это изображено на рис. 3.17.
t
j=1
j=0
x0 xn x
Рис. 3.17. Семейство характеристик уравнения (3.2.29) при V0 < 0
Таким образом, краевые условия для этого случая не задаются на левой границе, а задаются на правой. Изменяется и аппроксимация пространственной производной, если для случая V0 > 0 выбиралась левая разностная производная, то для случая V0 < 0 необходимо использовать правую разностную производную.
Разностная аппроксимация дифференциального уравнения (3.80) в этом случае имеет вид:
или ;i=n-1,…, 0. (3.2.36)
Из рекуррентного соотношения (3.2.34) следует, что изменилось и направление изменения индекса i, если для случая V0 > 0 индекс i возрастал от 0 до n-1, то для случая V0 < 0 индекс i уменьшается от n-1до 0, а соответственно для начала расчета Ni,j необходимо задавать краевые условия на правой границе. Для этого используем краевые условия 1 – го рода:
N(xn, t) = 1028 м-3 или в разностном виде Nn,j+1 = 1028. (3.2.37)
Алгоритм расчета функции Ni,j во всех узлах разностной сетки аналогичен алгоритму, описанному алгоритму для случая V0 > 0.
Текст программы алгоритма решения гиперболического дифференциального уравнения (3.2.29), написанной на блочно-структурном языке системы MATH CAD и числовые данные, приведены ниже.
Результаты численных расчетов. На рис. 3.18 приведены рассчитанные пространственные и временные зависимости концентраций Ni,j для случая V0 > 0. Рис.3.18. Пространственные и временные зависимости концентрацийNi,j
А на рис.2.7 приведены рассчитанные пространственные и временные зависимости концентраций Ni,j для случая V0 < 0. Расчеты проводились при следующих значениях параметров:
n = 50; τ = 1200c; h = 5м; k = 20; V0 = ±0.01м/c; N(x, 0) = 0; (3.2.38)
Рис.3.19. Пространственные и временные зависимости концентраций Ni,j
К достоинствам схем бегущего счета следует отнести их безусловную устойчивость решения гиперболических уравнений (в приведенных численных расчетах шаг интегрирования по времени задавался весьма большим (τ = 1200c)) и высокую эффективность (не нужно выполнять лишних арифметических операций как, например, в методе прогонки).
К недостаткам схем бегущего счета следует отнести невысокую точность аппроксимации производных по обеим производным, которая составляет 0(h + τ), что нетрудно показать с помощью методики, приведенной в разд. 3.1.1.
Задание. Провести численное исследование процесса переноса частиц на основе гиперболического дифференциального уравнения (3.2.29) при начальных значениях концентрации и скоростей N(0,x) и V0 , приведенных в табл. 3.8.
Таблица 3.8
Номер пос-ледней циф-ры зачетной книжки |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
N(0,x)10-26м-3 |
26 |
25 |
24 |
23 |
22 |
21 |
20 |
19 |
18 |
17 |
V0, м/с |
±0.001 |
±0.003 |
±0.005 |
±0.008 |
±0.01 |
±0.02 |
±0.03 |
±0.04 |
±0.05 |
±0.06 |