![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Информатика и математическое моделирование функциональных систем
- •Isbn 5-94826-033-X
- •Введение
- •Програмирование задач на языке basic
- •Программирование линейных вычислительных процессов
- •1.2. Справочный материал.
- •1.5. Вопросы для самопроверки
- •Программирование разветвляющихся алгоритмов
- •2.3. Пример:
- •20 Input “a b “ ; a , b input “a b “ ; a , b
- •2.4. Задание к лабораторной работе.
- •Определённые циклы
- •20 Print “!---------------------!-------------------------!---------------------------!»
- •Input “X, m%, h% “ ; X , m% , h%
- •4.4. Задания к лабораторной работе.
- •Input “X m h “ ; X , m% , h
- •Программирование итерационных вычислительных процессов
- •10 Input "Введите значения X,r,k,e" ; X,r,k,e
- •6.5. Вопросы для самопроверки
- •7.5. Вопросы для самопроверки
- •20 Rem Ввод элементов исходного массива q
- •30 Read X( I ) : next I
- •160 Next I
- •160 Next j
- •150 Next j
- •9.5. Вопросы для самопроверки
- •40 Read X( I ) : next I
- •45 Data 1, 2.1, -3, -4.1, 1.7, 1.8, 1.9, 14.2, -5, -4.3, 11.2, 10.8
- •140 Return
- •90 Read X( I ) : next I
- •100 Data 1, 2.1, -3, -4.1, 1.7, 1.8, 1.9, 14.2, -5, -4.3, 11.2, 10.8
- •10.5. Вопросы для самопроверки
- •40 Data ------------
- •11.5. Вопросы для самопроверки
- •Литература к главе 1
- •2. Программирование задач в системе math cad
- •РешЕние систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы
- •2.5. Вопросы для самопроверки.
- •Решение нелинейного уравнения графическим методом
- •3.5. Вопросы для самопроверки.
- •Решение НелинейноГо уравнениЯ МетодОм простых итераций
- •3.5. Вопросы для самопроверки.
- •Решение нелинейного уравнения методом касательных
- •4.3. Пример.
- •4.5. Вопросы для самопроверки.
- •Решение систем Нелинейных уравнений графическим методом
- •6.5. Вопросы для самопроверки.
- •Решение систем Нелинейных уравнений методом пРостых итерацй
- •6.3. Пример.
- •6.5. Вопросы для самопроверки
- •Численное интегрирование:метод прямоугольников и трапеций, формула симсона
- •7.5. Вопросы для самопроверки.
- •Численное решение обыкновеНноГо дифференциального уравнениЯ МетодОм эЙлера и рунге-кутта
- •8.5. Вопросы для самопроверки
- •Численное решение систем обыкновеНнЫх дифференциальных уравнениЙ МетодОм эЙлера
- •9.4. Задание. Самостоятельно задать матрицу с и вектор правых частей r и численно решить полученную приведенную систему обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера.
- •9.5. Вопросы для самопроверки
- •9.5.3. Какие явные или неявные разностные схемы используются при численном решении приведенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера? Литература к главе 2
- •3. Математическое моделирование на пэвм
- •3.1. Системы сосредоточенными массами
- •3.1.1. Математическое моделирование теплообмена для тел сосредоточенных масс с окружающей средой
- •3.1.2. Собственные колебания
- •Лабораторная работа № 3.1 исследование автономной линейной системы уравнений
- •Лабораторная работа №3.2. Исследование автономной нелинейной системы уравнений
- •Лабораторная работа №3.3. Решение жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (оду)
- •3.1.3. Математическая модель стабильности позвоночника
- •Результаты численных расчетов
- •3.2. Системы с распределенными параметрами
- •3.2.1. Математическое моделирование процесса переноса частиц
- •3.2.2. Математическое моделирование процесса прерванного посола рыбы
- •Отметим, что критерий устойчивости счета методом прогонки к ошибкам округления выполнен так как
- •Как следует из рекуррентных соотношений (3.2.32), для начала расчета необходимо иметь значения e1 и w1, которые определяются с помощью левого граничного условия (3.2.23)
- •3.2.3. Моделирование процесса переноса частиц на основе гиперболической системы уравнений
- •3.2.4. Математическое моделирование нестационарного двумерного процесса переноса частиц (теплопереноса)
- •Система разностных уравнений (3.96) дополнялась начальными и граничными условиями (3.91 и 3.92 – 3.95) и решалась методом обыкновенной прогонки попеременно в двух направлениях.
- •3.3. Повышение порядка точности аппроксимации дифференциальных уравнений
- •3.3.1. Повышение порядка точности аппроксимации обыкновенных дифференциальных уравнений
- •3.3.2. Повышение порядка точности аппроксимации дифференциальных уравнений гиперболического типа
- •3.4. Интерполяция функций
- •3.4.1. Линейная интерполяция
- •3.4.2 Квадратичная интерполяция
- •3.4.3. Интерполяционная формула Лагранжа
- •3.4.4. Сплайны
- •3.4.5.Алгоритм решения обратных задач по заданным показателям качества
- •Литература к главе 3
- •Информатика и математическое моделирование функциональных систем
3.2.4. Математическое моделирование нестационарного двумерного процесса переноса частиц (теплопереноса)
Двумерное уравнение диффузии в частных производных имеет следующий вид:
.
(3.2.36)
Начальные условия. Начальные условия для двумерного уравнения диффузии
частиц (3.2.36) задаются в виде
N(x, у, 0) = N0 = 1027 м-3 или в разностном виде Ni,mj = 1027; m = 0, …, M, (3.2.37)
где 0 = y0 y1 . . . yM – 1 yM = L2 – дискретные узлы по оси у; М – число узлов на оси у.
Граничные условия. Граничные условия задаются на прямоугольнике, образованными прямыми линиями: X = 0; Y = L; X = хn; Y = 0) при этом на всех сторонах прямоугольника используем краевые условия 1 – го рода. Краевые условия на левой границе (X = 0) определяются следующим образом:
N(0, у, t) = 1.2·1027 м-3 или в разностном виде N0,mj+1 =1.2·1027. (3.2.38)
Для задания краевых условий на границе Y = L используются краевые условия
концентраций частиц от координат х и у:
или
в разностном виде Nn,mj+1
=
.
(3.2.39)
Краевые условия на правой границе (X = хn) определяются следующим образом:
или
в разностном виде Nn,mj+1
=
.
(3.2.40)
Краевые условия на левой границе (Y = 0) определяются:
N(x, 0, t) = 1.2·1027 м-3 или в разностном виде Ni,0j+1 =1.2·1027. (3.2.41)
Сложность численного решения двухмерного уравнения (3.2.36) определяется его двухмерностью и необходимостью построения консервативной разностной схемы, использующей дивергентный вид уравнения. Поэтому, при численной реализации этого уравнения использовался метод расщепления и запись дифференциального оператора второго порядка в дивенгертном разностном виде [III, 17-19, 25].
Численное решение двумерного уравнения. В силу однородности процесса диффузии частиц, при численном решении нестационарного двумерного уравнения в частных производных параболического типа (3.2.37), рационально использовать классический метод переменных направлений, основанный на редукции сложной задачи к последовательности простейших.
Тогда, дифференциальное уравнение диффузии в частных производных (3.2.36), запишется в виде следующих двух разностных уравнений на временном полушаге τ /2 (см. рис.3.18 – 3.19):
;
(3.2.42)
,
где
hy
- шаг интегрирования по оси у; i
= 1,2,…,n-1
– номер пространственного узла по оси
х; m
= 1,2,…,M-1
– номер пространственного узла по оси
у; j
= 0,1,…,k-1
– номер временного слоя;
.
Алгоритм численного решения уравнения (3.2.36) на разностной сетке строился на основе Т-образных разностных шаблонов (см. рис. 3.18 – 3.19, шаблоны выделены жирными линиями) и заключается в следующем.
t
j=k
tk
j+1
Nij+1
X=L1;
m
= 1, …, M-1
j
Nij
х
0 i-1 i i+1 n
Рис. 3.18. Разностная сетка, используемая на первом полушаге τ / 2 для интегрирования уравнения диффузии (3.90) вдоль оси х.
На
первом полушаге по времени τ / 2 (на
разностной сетке вводились полуцелые
временные слои
)
интегрирование проводилось вдоль оси
х (см. рис.3.18), а на втором полушаге τ / 2
- по переменной у (рис. 3.19).
t
j=k
tk
j+1
Nmj+1
Y=L2;
i=1, …, n-1
j
у
0 m-1 m m+1 M
Рис. 3.19. Разностная сетка, используемая на втором полушаге τ / 2 для интегрирования уравнения диффузии (3.2.37) вдоль оси у
Такая методика построения численного решения двухмерного уравнения диффузии подразумевает проведение итерационного процесса до получения необходимой точности.