Тема 24
Выявление трендов и циклов,
прогнозирование развития социально-экономических
процессов
24.1. Компонентный состав временных рядов.
24.2. Применение моделей кривых роста для анализа и прогнозирования основной тенденции развития.
24.3. Выявление и прогнозирование сезонных колебаний.
24.1. Компонентный состав временных рядов
Динамический
(временной) ряд (ВР) представляет собой
ряд изменяющихся во времени значений
статистического показателя, расположенных
в хронологическом порядке. Статистические
показатели, характеризующие явление
или процесс во времени, приведенные во
ВР, называются уровнями
ряда и
обозначаются
.
Значения уровней ВР подвергаются влиянию
различных факторов и в уровнях ряда
выделяются следующие элементы
(компоненты):
трендовая
характеризует основную тенденцию
развития ряда динамики, при этом
остальные компоненты рассматриваются
только как мешающие процедуре его
определения. Обычно ставится задача
найти подходящую трендовую кривую,
которая сгладила бы остальные колебания;периодическая, которая подразделяется:
– на сезонную
,
период колебания которой не превышает
один год. Причинами таких колебаний
служат природно-климатические условия,
реже – социальные условия (колебания
цен на сельскохозяйственную продукцию,
увеличение покупок в предпраздничный
период и т. п.);
– циклическую
,
период колебания которых более года.
Причинами таких колебаний являются
циклы деловой активности Кондратьева,
демографические, инвестиционные и т.
п.
случайную
,
возникающую при удалении из ряда тренда
и периодических составляющих. Выделяются
два вида факторов, под воздействием
которых формируется случайная компонента:
– факторы резкого, внезапного действия вызывают более значительные отклонения. Иногда их называют катастрофическими колебаниями (стихийные бедствия, эпидемии, война, кризис и т. д.);
– текущие факторы вызывают случайные колебания, возникающие под влиянием большого числа побочных причин. В этом случае влияние отдельных факторов незначительно, однако ощущается общее их действие.
Обычно рассматриваются следующие формы моделей ВР:
Аддитивная:
В этом случае амплитуда сезонных колебаний (если присутствует сезонная составляющая) остается примерно одинаковой.
Мультипликативная:
В этом случае амплитуда сезонных колебаний (если присутствует сезонная составляющая) либо возрастает (возрастающие колебания), либо убывает (затухающие колебания).
Смешанная:
В формировании ВР не всегда участвуют все компоненты. В отдельных случаях может отсутствовать любая составляющая, кроме случайной.
Анализ и прогнозирование любого ВР рекомендуется начинать с построения графика исследуемого показателя. На этой стадии исследования часто можно определить общую тенденцию развития явления и вид трендовой модели, наличие и характер сезонных колебаний и др.
24.2. Применение моделей кривых роста для анализа и прогнозирования основной тенденции развития
На практике для описания тенденции развития явления широко используются модели кривых роста, представляющие собой различные функции времени: у=f(t). При таком подходе изменение исследуемого показателя связывают лишь с течением времени, т. е. считается, что влияние других факторов несущественно или косвенно сказывается через фактор времени.
Правильно выбранная модель кривой роста должна соответствовать характеру тенденции исследуемого явления. Кривая роста позволяет получить теоретические значения уровней ВР. Это те уровни, которые наблюдались бы в случае полного совпадения динамики явления с кривой.
Прогнозирование на основе модели кривой роста базируется на экстраполяции, т. е. на продлении в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. При этом предполагается, что во ВР присутствует тренд и сложившаяся тенденция развития показателя в будущем существенно не изменится (свойство инерционности ВР).
Процедура разработки прогноза с использованием кривых роста включает следующие этапы:
выбор одной или нескольких кривых, форма которых соответствует характеру изменения временного ряда;
оценку параметров выбранных кривых;
проверку адекватности выбранных кривых прогнозируемому процессу, оценку точности моделей и окончательный выбор кривой роста;
расчет точечного и интервального прогнозов.
При использовании подхода, основанного на кривых роста, уровни ВР представляются следующей моделью:
где t
– временной показатель, 
– параметры (коэффициенты) модели. При
этом предполагается, что вид функции
известен, а значения параметров неизвестны
и подлежат оцениванию.
В подавляющем большинстве случаев расчет оценок параметров моделей осуществляется с помощью метода наименьших квадратов (МНК). В частности, на основании МНК параметры линейной модели
находятся из системы уравнений:
где
– объем выборки (число наблюдений во
ВР).
Для нелинейных моделей обычно применяется процедура линеаризации, т. е. приведение модели к линейному виду путем преобразования модели и введения новых переменных. Например, для построения показательной модели
процедура линеаризации заключается в логарифмировании уравнения
и оценке параметров линейной модели
,
где
,
,
.
Вопрос о выборе кривой основной при построении трендовой модели. Поэтому охарактеризуем отдельные типы кривых, наиболее часто применяемые на практике.
К I классу относятся функции, используемые для описания процессов с монотонным характером тенденции развития и отсутствием пределов роста. Эти условия справедливы для многих экономических показателей, например для большинства показателей промышленного производства в натуральном выражении.
Среди кривых роста I класса выделим класс полиномов:
Коэффициенты
полиномов невысоких степеней могут
иметь конкретную интерпретацию в
зависимости от содержания динамического
ряда. Например, 
характеризует начальный уровень ВР в
момент времени t=0,
– скорость роста, 
– ускорение роста, 
– изменение
ускорения.
В
экономических исследованиях рекомендуется
применять полиномы не выше третьего
порядка. Описание тренда полиномом
более высоких степеней нецелесообразно,
что объясняется неограниченным
увеличением темпов роста при t.
Ко II классу относятся кривые, описывающие процесс, который имеет предел роста в исследуемом периоде. Примерами показателей, для которых могут быть указаны пределы роста, являются: среднедушевое потребление определенных продуктов питания, расход удобрений на единицу площади и т. п. Функции, относящиеся ко II классу, называют кривыми насыщения.
В качестве примера рассмотрим класс экспоненциальных кривых, для которых характерна зависимость приростов от значений самой функции. Эти кривые хорошо описывают процессы, имеющие «лавинообразный» характер, когда прирост зависит от достигнутого уровня функции. Простая экспоненциальная (показательная) кривая имеет вид
Параметр
характеризует начальный уровень ВР в
момент времени t
=
0, параметр 
– средний за единицу времени коэффициент
роста ВР. Такие типы кривых при 
используются
для описания процессов без «насыщения»,
с монотонно возрастающим или убывающим
характером тенденции.
Если
процесс характеризуется «насыщением»,
его следует описывать кривой, имеющей
отличную от нуля асимптоту (т. е.
k
при t).
Например, можно использовать модель,
называемую модифицированной экспонентой:
при
с горизонтальной
асимптотой 
.
Если
,
то асимптота находится выше
кривой,
если 
– ниже.
При решении экономических задач чаще
всего используются кривые со значениями
параметров 
и 
.
В этом случае рост уровней происходит
с замедлением и стремится к некоторому
конечному пределу.
При решении экономических задач иногда можно определить асимптотическое значение, исходя из свойств прогнозируемого процесса (например, коэффициент использования оборудования не может превышать 1). Иногда асимптотическое значение задается экспертным путем, например указывается, что позволяется наращивать объемы производственных мощностей не выше определенного уровня k.
К III классу относятся кривые насыщения, имеющие точки перегиба и называемые S-образными кривыми. Эти кривые описывают два последовательных лавинообразных процесса (когда прирост зависит от уже достигнутого уровня); один – с ускорением развития, другой – с замедлением.
S-образные кривые находят применение в демографических исследованиях, в страховых расчетах, при решении задач прогнозирования научно-технического прогресса, при определении спроса на новый вид продукции.
Если воздействие ограничивающего фактора начинает сказываться только после определенного момента (точки перегиба), до которого процесс развивался по некоторому экспоненциальному закону, то для выравнивания используют S-образные кривые, наиболее известными из которых являются кривая Гомперца и логистическая кривая (кривая Перла – Рида).
Кривая Гомперца задается уравнением:
Если log a < 0 и 0< b < 1, то кривая имеет S-образный вид, при этом асимптота y = k располагается выше кривой.
Уравнение логистической кривой получается путем замены в модифицированной экспоненте переменной уt обратной величиной 1/уt:
Логистическая функция сначала возрастает с ускоренным темпом, затем темп роста замедляется, и наконец рост почти полностью прекращается. При t→ + ∞ кривая имеет горизонтальную асимптоту y = k.
С помощью логистической кривой хорошо описывается развитие новой отрасли (нового производства). Сначала технические методы производства еще не достаточно разработаны, издержки производства высоки, и спрос на рынке на данный товар еще очень мал, производство развивается медленно. В дальнейшем, благодаря усовершенствованию технических методов изготовления, переходу к массовому производству и увеличению емкости рынка этого товара, производство растет быстрее. Затем наступает период насыщения рынка, рост производства все более замедляется, наконец почти прекращается. Наступает стабилизация процесса на определенном уровне.