Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новокузнецкий институт (филиал КемГУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Семестровая 1 (Методы оптимальных решений) / Методы оптимальных решений учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

1245

Добавлен:

19.04.2015

Размер:

6.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 376 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Данный результат позволяет ввести новое понятие: рангом матрицы называется максимальное число ее линейно независимых параллельных рядов. Обозначается ранг матрицы A так: rg A. Очевидно, что если

A = m×n , то rg A min{m, n}

Под элементарными преобразованиями матрицы будем понимать преобразования трех типов:

∙перемена местами двух каких-нибудь строк;

∙умножение всех элементов одной из строк матрицы на число, отличное от нуля;

∙прибавление ко всем элементам одной из строк матрицы соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число.

Несложно доказать такую теорему.

ТЕОРЕМА. Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее

ранга.

Эта теорема дает способ вычисления ранга матрицы: с помощью элементарных преобразований матрицу приводят (с точностью до перестановки столбцов) к виду

	1 0			0
		0	1	0

r строк

		0 0		1				,
		0	0	0	0	0	0


	0		0	0	0	0	0


			0	0	0	0	0
	0

где звездочками обозначены произвольные числа, при этом ранг исходной матрицы равен рангу преобразованной матрицы, а ранг преобразованной матрицы, очевидно, равен r.

ПРИМЕР2.2.1. Требуется найти базис и ранг системы векторов — строк матрицы

	0	1	2
A =	4	0	1	.

	3	−1	1
	3	−1	1

Решение. Преобразуем матрицу A с помощью элементарных преобразований. Процесс элементарных преобразований иллюстрируется табл. 2.2.1.

Т а б л и ц а 2.2.1

	A		Примечания

0	1	2	II ® I
4	0	1	I ® II
3	–1	1	III ® III
4	0	1	(1/4)×I ® I
0	1	2	II ® II
3	–1	1	III ® III
1	0	1/4	I ® I
0	1	2	II ® II
3	–1	1	III – 3×I ® III
1	0	1/4	I ® I
0	1	2	II ® II
0	–1	1/4	III + II ® III
1	0	1/4	I –(1/9)×III ® I
0	1	2	II –(8/9)×III ® II
0	0	9/4	(4/9)×III ® III
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Таким образом, исходная матрица

	0	1	2
A =	4	0	1	.

	3	−1	1
	3	−1	1

с помощью элементарных преобразований приведена к виду

1	0	0
0	1	0	,

0	0	1

откуда следует что три строки матрицы A:

(0 1 2), (4 0 1), (3 −1 1)	(2.2.4)
представляют собой линейно независимую систему векторов
Эти три вектора (2.2.4) и образуют базис системы векторов —	строк
матрицы A. Ранг системы векторов равен числу векторов в базисе этой си-
стемы, т. е., в данном случае, трем.
ПРИМЕР 2.2.2. Нужно определить ранг матрицы А из примера 2.2.1.
Решение. Ранг матрицы равен рангу системы векторов —	строк
этой матрицы, т. е., согласно решению примера 2.2.1, rg A = 3 .

Прямая линия с заданным на ней направлением называется осью. Если выбрать на оси некоторую точку O, называемую началом координат, и задать е д и н и ц у и з м е р е н и я (масштаба), то тем самым мы зададим

систему координат на прямой.

Две перпендикулярные оси на плоскости с общим началом координат и одинаковой единицей измерения образуют декартову прямоугольную си-

стему координат на плоскости. Одна из осей называется осью абсцисс и

обозначается Oх1, другая — осью ординат (Ox2), а сама система координат обозначается х1Ox2.

Аналогичным образом можно ввести декартову прямоугольную систему координат и в трехмерном пространстве.

Проекции точки на координатные оси называются координатами этой точки. Очевидно, любая точка однозначно задается своими координатами.

С произвольной точкой однозначным образом M связан так называемый радиус-вектор этой точки, т. е. вектор, имеющий те же координаты, что и точка M. С геометрической точки зрения радиус-вектор точки M — это вектор O M , началом которого является начало координат O, а концом

— данная точка M.

На рис. 2.2.1 изображена декартова прямоугольная система коорди-

нат на	плоскости. В этой	системе координат отмечены точки A(1, 4),
B(2, 3),	C(–1, 2) и D(1, –1).	С этими точками связаны их радиус-векторы
a = (1, 4), b = (2, 3), c = (–1, 2) и d = (–1, –1).
	Теперь операции над векторами получают наглядную геометриче-

скую интерпретацию.

Для того, чтобы получить сумму векторов a и b, нужно вектор b отложить из конца вектора a и в качестве результата a + b взять вектор с началом в начале вектора a и с концом в конце вектора b.

Чтобы получить вектор λA , нужно построить вектор, который имеет то же направление, что и вектор a, если λ 0 , или противоположное

направление, если λ < 0 , а длину —	в λ раз больше, чем длина вектора a.
Построим на рис. 2.2.1, пользуясь этими правилами, векторы a + b и
4d. Их координаты a + b = (3, 7),	4d = (-4, - 4) совпадают с вычисленными

по обычным формулам сложения векторов и умножения вектора на число из параграфа 2.1:

a + b = (3, 7) = (1 + 2, 4 + 3), 4d = (-4, - 4) = (-1 × 4, - 1 × 4) .

Аналогии между линейными пространствами произвольной природы и привычными нам прямой линией, плоскостью и обычным трехмерным пространством позволяют пойти дальше: ввести понятия длины вектора, угла между векторами и расстояния между точками в произвольном

линейном пространстве.
Длиной вектора a = (a , a	, …, a	n	) n		называется число
1 2		n

				n
\| a \| = a12 + a22 +…+ an2 = ∑ai2 = a, a ,
				i=1

a + b

C a

	c1	b
	c1	x1
		x1

D d O 1

Рис. 2.2.1. Декартова прямоугольная система координат на плоскости

НЕРАВЕНСТВО КОШИ — БУНЯКОВСКОГО. Скалярное произведение произвольных векторов a и b не превосходит произведения их длин:

a, b | a | | b | .

(2.2.5)

Доказательство. Если a = θ , то a, b = 0, | a | = 0 , откуда и следует

неравенство (2.2.1), превращающееся в этом случае в равенство. Пусть теперь a ¹ θ и пусть x = aa - b , где a Î — некоторое число. Тогда по свойству скалярного произведения x, x 0 [см. формулу (1.1.12)] или

x, x = aa - b, aa - b = a a, aa - b - b, aa - b =

= a2 a, a - a a, b - a b, a + b, b = a2 a, a - 2a a, b + b, b ,

т. е. при любом a Î выполняется неравенство

α2 a, a − 2α a, b + b, b 0 .

Так как a ¹ θ , то a, a ¹ 0 и можно положить a = a, b a, a :

		a, b 2		a, a - 2		a, b	a, b + b, b 0 ,
				a, a - 2		a, a	a, b + b, b 0 ,
		a, a 2				a, a
откуда
	a, b 2	− 2	a, b 2		+ b, b 0		или	a, b 2	b, b .
	a, a	− 2	a, a		+ b, b 0		или	a, a	b, b .
	a, a		a, a					a, a
54

Умножив левую и правую части последнего неравенства на одно и то же число a, a > 0 , получим:

a, b 2 a, a b, b ,

(2.2.6)

и чтобы теперь получить неравенство (2.2.1), достаточно взять квадратный корень из обеих (неотрицательных) частей неравенства (2.2.2) и вспомнить,

что | a | = a, a , | b| = b, b . Справедливость неравенства доказана

Поскольку из неравенства Коши — Буняковского следует, что если оба вектора a и b ненулевые, то

-1

a, b

(2.2.7)

| a | | b |

между ненулевыми векторами a и b как

можно определить угол ϕ = (a, b)

такое число ϕ = [0, π] , что

a, b

cos j = cos(a, b)

| a | | b |

Читателю рекомендуется убедиться в справедливости неравенства

(2.2.3).

ПРИМЕР

2.2.2.

Требуется

определить

угол между

векторами

a = (

3, 3), b = (-1,

Решение. Вычисляем последовательно:

= 2

a, b =

= 2

(

)2 + 32

a, a

3(-1) + 3

3, | a |=

a, b

+ ( 3 ) =

| b |= b, b

(-1)

4 = 2,

cos(a, b) =

| a | | b |

2 3

откуда (a, b) = π / 3 = 60 . Рис. 2.2.2 подтверждает это наглядно.

		x2
b	1		a
b	1	π		x1
		3		x1


		O 1

Рис. 2.2.2. Угол между векторами

Два вектора пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. С геометрической точки зрения ортогональные векторы перпендикулярны друг другу.

Расстояние между точками A(a , a , …, a ) и B(b , b , …, b ) равно,

1 2 n 1 2 n

очевидно, длине вектора AB = (b1 − a1, b2 − a2 , …, bn − an ) :

	n	− ai )2
	n
ρ( A, B) = (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 +…+ (bn − an )2 = ∑(bi			=
	i=1

=b − a, b −a.

§2.3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Вэкономических исследованиях, планировании и управлении приходится рассматривать системы алгебраических уравнений со многими не-

известными величинами. Система из k уравнений первой степени с n неиз-

вестными может быть записана в виде

a11x1 + a12 x2 +…+ a1n xn = b2 ,
a	x + a	x +…+ a			x = b ,
	21 1	22	2		2n n	2	(2.3.1)


a	x + a	k 2	x +…+ a		x = b ,
	k1 1		2		kn n	k
где н е и з в е с т н ы е x1, x2 ,…, xn			подлежат определению, а к о э ф ф и -
ц и е н т ы a11, a12 ,…, akn	п р и н е и з в е с т н ы х и с в о б о д н ы е
ч л е н ы b1 ,b2 ,…,bk у р а в н е н и й				заданы, притом первый индекс коэф-

фициента совпадает с номером уравнения, в котором содержится данный коэффициент, второй индекс — с номером неизвестной, при которой этот коэффициент поставлен. Кратко запишем систему линейных алгебраических уравнений в следующем виде:

∑aij x j = bi , i =1, 2,…, k .

j =1

Совокупность чисел α1, α2 ,…,αn , взятых в определенном порядке,

называют решением системы уравнений (2.3.1), если они, будучи подставлены в уравнения системы на место соответствующих неизвестных, обращают все уравнения в тождества. Решение (α1 , α2 ,…,αn ) системы

(2.3.1) называют неотрицательным, если все его компоненты αi неотри-

цательны.

Система линейных алгебраических уравнений (2.3.1) называется совместной, если она имеет решение. Совместная система называется определенной или неопределенной в зависимости от того, имеет ли она од-

но или более решений. Система вида (2.3.1) называется несовместной или противоречивой, если она не имеет решения.

Две системы линейных алгебраических уравнений с одним и тем же числом неизвестных называются эквивалентными, или равносильными, если они или обе несовместны, или обе совместны и имеют одни и те же решения; число уравнений в эквивалентных системах может быть различным. В процессе отыскания решений систему уравнений можно подвергать только таким преобразованиям, которые переводят ее в эквивалентные системы.

Относительно любой системы линейных алгебраических уравнений можно задать вопросы:

∙совместна она или нет;

∙если совместна, то каково число решений;

∙как найти все решения.

Процесс отыскания ответов на первые два вопроса называется ис-

следованием системы, а	процесс отыскания решений —	решением системы.
Мы рассмотрим	м е т о д Ж о р д а н а —	Г а у с с а (метод по-

следовательного исключения неизвестных) для исследования и решения систем линейных алгебраических уравнений, в котором процессы исследования и поиска решений совпадают.

Составим матрицу A из коэффициентов при неизвестных системы линейных алгебраических уравнений. Ее принято называть матрицей системы (2.3.1), а матрицу Aɶ = (A | b) , получающуюся добавлением к A столбца свободных членов системы (2.3.1), называют расширенной матрицей:

a11

a12

a1n

a11

a12

a1n

A =

;

A = (A | b) =

ak 2

akn

ak1

akn

ak1

Очевидно, левые части уравнений системы (2.3.1) совпадают с элементами матрицы-произведения Ax , поэтому систему линейных алгебраических уравнений (2.3.1) можно записать в матричной форме:

Ax = b .

ПРИМЕР 2.3.1. Нужно проверить, является ли вектор

y = 2

решением системы линейных уравнений, которая задана расширенной матрицей

		2	7	3	1	6

(A \| b) =		3 5		2	2	4
							.
			4	1	7	2
	9

Решение. Подставим координаты вектора y вместо неизвестных в данную систему линейных уравнений:

2 ×1 + 7 × 2 + 3 × 0 + 1× (-2) = 9 ¹ 6,
	×1 + 5 × 2	+ 2 × 0 + 2 × (-2) = 9	¹ 4,
3
	×1 + 4 × 2	+ 1× 0 + 7 × (-2) = 1	¹ 2.
9

Так как вычисленные значения не совпадают с координатами вектора b, то вектор y не является решением данной системы уравнений.

Элементарными преобразованиями системы линейных алгебраиче-

ских уравнений называют преобразования следующих трех типов:

∙перестановка двух каких-нибудь уравнений системы;

∙умножение обеих частей одного из уравнений на любое число, отличное от нуля;

∙прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число.

Нетрудно видеть, что элементарные преобразования переводят данную систему линейных алгебраических уравнений в эквивалентную систему.

Подвергая систему линейных алгебраических уравнений элементарным преобразованиям, можно исключить любую неизвестную из всех уравнений, кроме какого-нибудь одного уравнения. Предположим, что в системе уравнений (2.3.1) коэффициент ars отличен от нуля и что мы ре-

шили исключить неизвестную xs из всех уравнений системы, кроме r-го уравнения. Назовем ars разрешающим коэффициентом, xs — разрешаю-

щей неизвестной, уравнение с номером r — разрешающим уравнением.

Систему уравнений (2.3.1) перепишем в виде

ai1 x1 + … + ais xsar1x1 + … + ars xs

+ … + ain xn	= bi ,	i ¹ r,
+ … + arn xn	= br .

Если умножить r-е уравнение системы на какое-нибудь число l и прибавить к i -му уравнению, то все коэффициенты при неизвестных и свободный член i -го уравнения изменятся и примут значения

a′	= a	ij	+ λa	rj	, j = 1, 2,…, n,	b′ = b + λb .
ij		ij		rj		i i	r

Неизвестная xs исключается из i -го уравнения, если коэффициент при ней станет равным нулю:

a¢	= a	is	+ la	rs	= 0 ,	(2.3.2)
is		is		rs

для этого необходимо взять

λ = −	ais	.	(2.3.3)

	ars

Исключив таким образом неизвестную xs из всех уравнений систе-

мы (2.3.1), кроме разрешающего уравнения, разделим последнее на разрешающий коэффициент. Система (2.3.1) перейдет в следующую эквивалентную ей новую систему

a¢ x + …+ a¢

s−1

+ a¢

s+1

+…+ a¢ x

= b¢, i ¹ r,

i1 1

i,s−1

i,s+1

a¢ x + …+ a¢

s−1

+ a¢

s+1

+…+ a¢ x

= b¢,

r1 1

r ,s−1

r ,s+1

где неизвестная xs содержится только в r-м уравнении, притом с коэффи-

циентом единица, а остальные коэффициенты при неизвестных и свободные члены связаны с коэффициентами и свободными членами исходной системы (2.3.1), как видно из соотношений (2.3.2) и (2.3.3), формулами:

a¢

= a

ais

a ,

b¢ = b

ais

b , i ¹ r,

i i

ars

(2.3.4)

arj

a¢

b¢ =

ars

которые называются формулами исключения.

Формулы исключения удобно применять с помощью правила прямоугольника, суть которого состоит в том, что для получения нового элемента aij′ (или bi¢) надо из преобразуемого элемента aij (или bi ) вычесть

произведение элементов, расположенных в оставшихся противоположных вершинах прямоугольника, деленное на разрешающий элемент (рис. 2.3.1).

○					is
a	a				arj
ij	is	○○			a
		○○
		a′	= a	−
		ij	ij
					a
a	a				□rs
rj	□rs
a	a				br
ij	is				ais
○		○○			ais
		○○
		b′	= b	−
		i	i
					a
a	a				□rs
rj	□rs

Рис. 2.3.1. Правило прямоугольника

Можно предположить, не теряя общности, что в системе линейных алгебраических уравнений (2.3.1) коэффициент a11 отличен от нуля. Примем

этот коэффициент за разрешающий и исключим по указанным выше правилам неизвестную x1 из всех уравнений системы, кроме первого уравнения.

Система (2.3.1) преобразуется в новую систему линейных алгебраических уравнений, эквивалентную данной, притом число уравнений в новой системе может быть меньше, чем в исходной, так как в процессе преобразований могли появиться уравнения вида

0x1 + 0x2 + +0xn = 0 ,

называемые нуль-уравнениями, которые мы отбрасываем. Далее мы исключим из всех уравнений новой системы, кроме второго, следующую неизвестную, например x2 , если коэффициент при ней в новой системе отли-

чен от нуля, и т. д., если не появилось уравнение вида

0x1 + 0x2 + +0xn = b, b ¹ 0 .

(2.3.5)

Процесс последовательного исключения неизвестных закончится либо тогда, когда мы придем к системе, содержащей уравнение вида (2.3.5), что будет означать несовместность исследуемой системы (2.3.1), либо тогда, когда система примет вид

x		+ g x	+…+ g x = h ,
	1	1,m+1 m+1	1n n	1
	x2	+ g2,m+1xm+1	+…+ g2n xn	= h2	,
					(2.3.6)


		xm + gm,m+1xm+1 +…+ gmn xn = hm .
		xm + gm,m+1xm+1 +…+ gmn xn = hm .
Система	уравнений	(2.3.6) эквивалентна системе			(2.3.1), притом

m k . Будем говорить, что система линейных алгебраических уравнений

(2.3.1) приведена к предпочитаемому или каноническому виду (2.3.6); неиз-

вестные x1, x2 ,…, xm будем называть базисными, xm+1, xm+2 ,…, xn — свободными. Особенность системы (2.3.6) в том, что в каждом уравнении содержится неизвестная с коэффициентом, равным единице, которая ни в какое другое уравнение не входит, т. е. коэффициенты при базисных неизвестных образуют единичную подматрицу матрицы системы (возможно, после некоторой перестановки уравнений и перенумерации неизвестных). Кратко эту систему записывают в виде

xi + ∑ gij x j = hi , i =1, 2,…, m .

j =m+1

Число уравнений в системе (2.3.6) не больше числа неизвестных: m n . При m = n система (2.3.6) имеет вид

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 376 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Семестровая 1 (Методы оптимальных решений)

#
19.04.201553.55 Кб144(Методы оптимальных решений) Семестровая 1.docx
#
19.04.20156.01 Mб1245Методы оптимальных решений учебное пособие.pdf
#
19.04.2015177.31 Кб404Пример решения задачи симплекс методом..docx
#
19.04.201562.74 Кб72Пример решения ЗЛП графическим методом и анализ чувствительности модели.docx