Семестровая 1 (Методы оптимальных решений) / Методы оптимальных решений учебное пособие

4.Решите данные задачи линейного программирования методом искусственного базиса:

x1 0, x2 0, …, x5 0.

5.Для каждой из данных задач линейного программирования сформулируйте двойственную задачу и решите ее графически, а затем с помощью теоремы о дополняющей нежесткости найдите решение исходной задачи:

x1 0, x2 0, …, x6 0.

6.Для каждой из данных задач линейного программирования сформулируйте двойственную задачу и найдите оптимальные решения обеих задач:

7.Решите данные задачи целочисленного программирования методом ветвей и границ:

121

ГЛАВА 4. ОПТИМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВОМ И ЦЕПЯМИ ПОСТАВОК

§ 4.1. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ПЛАНИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВА

Мы уже неоднократно рассматривали задачу оптимального планирования производства. Проведем подробное исследование конкретного примера такой задачи с использованием всей изученной теории.

ПРИМЕР 4.1.1. Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известна технологическая матрица A затрат каждого из ресурсов на единицу каждой продукции, вектор b объемов ресурсов и вектор c цен продукции:

Требуется определить производственную программу, обеспечивающую предприятию наибольшую выручку при имеющихся ограниченных ресурсах.

Решение. Математическая модель задачи такова: требуется найти производственную программу

x1 x = x2 ,x3x4

максимизирующую выручку

z = 36x1 +14x2 + 25x3 +50x4 → max

при ограничениях по ресурсам

122

причем по смыслу задачи

x1 0, x2 0, x3 0, x4 0 .

Для решения этой задачи линейного программирования симплексным методом систему неравенств при помощи дополнительных неотрицательных неизвестных x5 , x6 , x7 заменим системой линейных алгебраических уравнений

в которой дополнительные переменные x5, x6 и x7 имеют смысл остатков ресурсов (соответственно первого, второго и третьего вида). Среди всех решений системы уравнений, удовлетворяющих условиям неотрицательности

x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0, x6 0, x7 0 ,

нужно найти то решение, при котором целевая функция примет наибольшее значение.

Воспользуемся тем, что правые части всех уравнений системы неотрицательны, а сама система имеет предпочитаемый вид — дополнительные переменные являются базисными, поэтому можно применить симплексный метод. Процесс решения записан в виде последовательности

123

За каждой симплексной таблицей стоит система четырех линейных уравнений, из которых первые три представляют некоторый предпочитаемый эквивалент системы условий задачи и определяют соответствующее базисное допустимое решение, а из последнего уравнения получается выражение целевой функции через свободные неизвестные. Как видно из последней симплексной таблицы, оптимальной является производственная программа x1 = 27; x2 = 0; x3 = 0; x4 = 20, обеспечивающая предприятию наибольшую прибыль z* = 1972; при этом остаток ресурса первого вида x5 = 0, второго вида x6 = 13, третьего вида x7 = 0.

Обратим внимание на экономический смысл элементов последней строки симплексной таблицы. Оценочные коэффициенты 1, 2, 3 и 4 имеют смысл оценок технологий и показывают, насколько уменьшится выручка, если произвести единицу соответствующей продукции.

Например, коэффициент 3 = 7 при переменной x3 показывает, что если произвести одну единицу продукции третьего вида (она не входит в оптимальную производственную программу), то выручка уменьшится на 7 руб.

Оставшиеся коэффициенты 5, 6 и 7 имеют смысл двойственных оценок ресурсов и показывают, насколько возрастет выручка, если первоначальные запасы соответствующего ресурса увеличить на единицу. Так, увеличение на единицу запаса первого ресурса приведет к увеличению вы-

стоимость всех имеющихся ресурсов минимальна при условии, что внутренняя стоимость ресурсов, из которых можно изготовить единицу продукции каждого вида, не меньше той цены, по которой единицу соответствующей продукции можно продать на рынке.

Для производства единицы продукции первого вида мы должны затратить, как видно из матрицы A, 4 единицы ресурса первого вида, 2 единицы ресурса второго вида и 3 единицы третьего (элементы первого столбца матрицы). В ценах y1, y2 , y3 наши затраты составят 4y1 +2y2 +3y3 . При реализации единицы первой продукции на рынке мы получили бы 36 руб. Следовательно, внутренняя оценка стоимости ресурсов, из которых можно изготовить единицу первого продукта ( 4y1 +2y2 +3y3 ), должна составлять не менее 36 руб. Аналогичные условия должны выполняться и для всех остальных видов продукции.

Окончательно двойственная задача формулируется так: требуется найти вектор двойственных оценок

y = (y1 y2 y3 ),

124

минимизирующий общую оценку всех ресурсов

f = 208y1 +107 y2 +181y3 →min

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше выручки, получаемой от реализации единицы этой продукции:

причем оценки ресурсов не могут быть отрицательными:

y1 0, y2 0, y3 0 .

Запишем т е о р е м у о д о п о л н я ю щ е й н е ж е с т к о с т и для этой задачи:

и подставим в эти уравнения уже известную оптимальную производствен-

ную программу x1 = 27; x2 = 0; x3 = 0; x4 = 20:

20(5 y1 + 2 y2 + 5 y3 - 50) = 0.

125

Второе из этих уравнений [y2(94 – 107) = 0] означает, что поскольку второй ресурс используется не полностью (при выполнении оптимальной производственной программы расходуется 94 единицы из 107), его двойственная оценка y2 = 0. Четвертое уравнение [27(4y1 + 2y2 + 3y3 – 36) = 0] означает, что поскольку первый продукт входит в оптимальную производственную программу (x1 = 27), то суммарная двойственная оценка ресурсов, из которых можно изготовить единицу продукта первого вида (4y1 + 2y2 + 3y3) должна быть равна цене этого продукта (36 руб.). Из последнего уравнения следует, что поскольку четвертый продукт входит в оптимальную производственную программу (x4 = 20), то суммарная двойственная оценка ресурсов, из которых можно изготовить единицу продукта четвертого вида (5y1 + 2y2 + 5y3) должна быть равна цене этого продукта

(50 руб.). Итак,

Решив эту систему уравнений, получим окончательно, что y2 = 6,

y2 = 0, y2 = 4.

Предлагаем студенту самостоятельно получить решение задачи с помощью надстройки «Поиск решения» пакета Microsoft Excel и прокомментировать содержание отчетов о результатах, устойчивости и пределах.

§ 4.2. ЗАДАЧА О РАСШИВКЕ УЗКИХ МЕСТ ПРОИЗВОДСТВА

При выполнении оптимальной производственной программы может оказаться так, что некоторые ресурсы расходуются полностью. Говорят, что такие ресурсы образуют узкие места производства. Наличие узких мест в силу неустойчивости решения задач линейного программирования может привести к тому, что потеря достаточно малого количества некоторого ресурса, имеющего сравнительно низкую стоимость (относительно суммарной прибыли) может привести к тому, что оптимальное значение прибыли уменьшится намного сильнее, чем на стоимость потерянного ресурса. Рассмотрим тривиальный пример.

ПРИМЕР 4.2.1. Предприятие собирает автомобили из готовых узлов и агрегатов. Для изготовления одного автомобиля требуется один кузов с подвеской (в сборе), один двигатель и четыре колеса. Производство одного автомобиля приносит предприятию чистую прибыль 50 тыс. руб. В наличии у предприятия имеется 2 кузова, 2 двигателя и 8 колес. Требуется определить, какие убытки принесет предприятию потеря (в результате хищения) одного колеса (стоимостью 2 тыс. руб.).

Решение. Казалось бы, убытки предприятия равны 2 тыс. руб. Но это не так! Из 2 кузовов, 2 двигателей и 8 колес предприятие могло изготовить 2

126

автомобиля и получить прибыль 100 тыс. руб. После утраты колеса предприятие может собрать только 1 автомобиль и получить прибыль в 2 раза меньше

— всего 50 тыс. руб. Конечно, недостающее колесо можно приобрести, но это

2 тыс. руб., если колесо купить вообще невозможно, то убытки предприятия составят 50 тыс. руб., а в общем случае убытки равны стоимости простоя предприятия в течение того времени, которое занимает закупка колеса).

Будем р а с ш и в а т ь узкие места производства, т. е. закажем дополнительно те ресурсы, которые полностью используются при выполнении оптимальной производственной программы. Пусть

вектор дополнительных объемов ресурсов.

Прирост выручки, связанный с вовлечением в производство t1 до-

насколько увеличится выручка при добавлении к имеющимся запасам единицы соответствующего ресурса. Естественно этот прирост прибыли максимизировать.

Чтобы двойственные оценки не изменились при переходе от вектора запасов ресурсов от b к вектору b + t, должно выполняться у с л о в и е у с т о й ч и в о с т и д в о й с т в е н н ы х о ц е н о к:

h + Q−1t θ .

Кроме того, как правило, производитель не может получить неограниченно много ресурсов, т. е. все компоненты вектора t ограничены.

В общем случае расшивка узких мест производства позволяет максимально задействовать имеющийся потенциал предприятия по производству данной продукции по данным технологиям в условиях существующих цен.

ПРИМЕР 4.2.2. Требуется решить задачу о расшивке узких мест производства в условиях примера 4.1.1 при условии, что поставщики не могут поставить дополнительно более трети от первоначальных запасов ресурсов.

Решение. При выполнении оптимальной производственной программы в условиях примера 4.1.1 первый и третий ресурсы используются полностью, т. е. образуют узкие места производства. Будем их заказывать дополнительно. Пусть

127

вектор дополнительных объемов ресурсов.

При этом вектор запасов ресурсов изменится от

208

b= 107181

до

208 + t1 b + t = 107 .

181+ t3

Производственная программа, содержащаяся в последней симплексной таблице, выразится через новый вектор запасов ресурсов при помощи обращенного базиса

следующим образом:

hнов. = Q−1 (b + t) = h + Q−1t .

Прирост выручки, связанный с вовлечением в производство t1 дополнительных единиц первого ресурса и t3 — третьего, равен

так как двойственные оценки этих ресурсов (y1 = 6 и y3 = 4) показывают, насколько увеличится выручка при добавлении к имеющимся запасам единицу соответствующего ресурса.

Чтобы двойственные оценки не изменялись, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие устойчивости двойственных оценок

h + Q−1t θ

или

128

Перемножая матрицы, получаем:

Условие, которое состоит в том, что производитель не может получить более трети первоначальных запасов ресурсов, запишется как

В скалярной форме последнее условие запишется так:

Таким образом, задача о расшивке узких мест производства форму-

лируется следующим образом: требуется максимизировать дополнительный прирост прибыли (4.2.1), связанный с вовлечением в производство t1 0 дополнительных единиц первого ресурса и t3 0 — третьего, при выполнении условия устойчивости двойственных оценок (4.2.2) и условия (4.2.3), означающего, что невозможно заказать дополнительно более трети первоначальных запасов ресурсов.

Окончательно задача о расшивке узких мест производства запишет-

ся так:

w = 6t1 + 4t3 → max,

129

Эту задачу легко решить графически: область допустимых решений задачи (4.2.4) заштрихована на рис. 4.2.1.

t3

50

–30

–50

Рис. 4.2.1. Графическое решение задачи о расшивке узких мест производства

Самая дальняя точка этой области в направлении, указываемом градиентом целевой функции

6 grad w = , —

4

это точка M, которая задается пересечением прямых, задаваемых вторым и пятым из ограничений задачи:

Таким образом, программа расшивки узких мест имеет вид

t3 = 1813 = 60 13 , t1 = 54 (13 + 52 t3 )= 54 (13 + 52 × 1813 )= 55712 = 46 125 .

Решение оказалось нецелочисленным. Если речь идет о недельном плане производства, который будет действовать в течение предстоящего года, то это решение означает просто, что 5 из 12 недель нужно заказывать по 47 единиц первого ресурса, а оставшиеся 7 недель — по 46 единиц.

Если же речь идет о плане на последнюю неделю года, то необходимо найти целочисленное решение задачи.

Произведем ветвление по переменной t1 — получим две новые задачи:

130