Семестровая 1 (Методы оптимальных решений) / Методы оптимальных решений учебное пособие

ставленной единицы товара равна 2 ден. ед., за каждую неудовлетворенную единицу заказанного товара взимается штраф в размере 10 ден. ед. Сравните минимальные суммарные транспортные издержки по доставке товара в случае, когда никаких дополнительных ограничений не накладывается, и в случае, когда второму потребителю должно быть поставлено не менее восьми единиц товара от третьего поставщика, а поставки от второго поставщика первому потребителю запрещены. Векторы a, b и матрица C таковы:

151

ГЛАВА 5. МЕТОДЫНЕЛИНЕЙНОГОПРОГРАММИРОВАНИЯ

§ 5.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ВЫПУКЛОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Задача математического программирования в общей постановке формулируется следующим образом: требуется найти вектор X Rn , доставляющий функции

максимум на множестве д о п у с т и м ы х р е ш е н и й, заданных ограничениями

Если в задаче математического программирования (5.1.1)—(5.1.2) целевая функция f (x) является дифференцируемой и выпуклой вверх, а

левые части всех ограничений ϕi (x) (i =1, 2, …, m) — дифференцируемыми и выпуклыми вниз, то задача (5.1.1)—(5.1.2) называется задачей выпуклого

программирования.

Напомним, что функция f (X ) называется выпуклой в в е р х (вогнутой) на множестве X, если для любых x1, x2 X и любых λ[0;1] выполняется неравенство

f (λx1 + (1−λ)x2 ) λf (x1) + (1−λ) f (x2 ) .

Функция f (x) называется выпуклой в н и з (выпуклой) на множестве

X, если для любых X1, X2 X и любых λ [0; 1] выполняется неравенство

f (λx1 + (1−λ)x2 ) λf (x1) + (1−λ) f (x2 ) .

Если для задач математического программирования в общем случае пока не существует стройной теории, то для задач выпуклого программирования такая теория есть, этой теории и посвящена данная глава.

152

§ 5.2. УСЛОВИЯ КАРУША —КУНА —ТАККЕРА

Функцией Лагранжа задачи выпуклого программирования (3.1.1)— (3.1.2) называется функция

называется множителями Лагранжа для задачи выпуклого программиро-

вания (3.1.1)—(3.1.2).

Если в задаче (3.1.1)—(3.1.2) f (x) выпукла вверх, а все ϕi (x) выпуклы вниз (i = 1, 2, …, m), то, очевидно, функция Лагранжа (5.2.1) выпукла

= λL(x, y1 ) + (1 − λ)L(x, y2 )

Говорят, что задача выпуклого программирования (3.1.1)—(3.1.2) удовлетворяет условию регулярности, если существует хотя бы одна внутренняя точка множества допустимых решений, определяемого неравен-

153

ТЕОРЕМА КУНА — ТАККЕРА. Если задача выпуклого программирования (3.1.1)—(3.1.2) удовлетворяет условию регулярности, то точка X Rn является оптимальным решением этой задачи тогда и только тогда, когда существует такой вектор

y = (y1 y2 … ym ) Rm+

с неотрицательными координатами, что точка (X , Y ) Rn +m является седловой точкой функции Лагранжа данной задачи.

УСЛОВИЯ КАРУША — КУНА — ТАККЕРА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ. Если

функция Лагранжа L(X, Y) является выпуклой вверх по x, выпуклой вниз по y и непрерывно дифференцируемой по всем xj (j = 1, 2, …, n) и yi (i = 1, 2,

проверить выполнение условия регулярности, и если оно выполняется, составить функцию Лагранжа, записать условия Каруша — Куна — Таккера в дифференциальной форме и найти оптимальное решение задачи как точку, удовлетворяющую условиям Каруша — Куна — Таккера.

154

Решение. Такая задача, в которой целевая функция квадратичная, а ограничения — линейные, носит название задачи квадратичного програм-

мирования.

Очевидно, условие регулярности выполняется, поскольку, например, точка

x(0) 1

= 8

является внутренней точкой множества допустимых решений — все ограничения в этой точке выполняются как строгие неравенства:

Составим функцию Лагранжа (5.2.1):

L(x, y) = -(x1 - 8)2 - (x2 - 8)2 + y1 (15 - 3x1 - x2 ) + y2 (10 - x1 - x2 ) + y3 x1 + y4 x2 .

Здесь мы учли, в том числе, и ограничения (5.2.9), которые преобразовали к такому виду: −x1 0, − x2 0 .

Производные функции Лагранжа равны

(5.2.3)—(5.2.6) запишутся в виде (5.2.3')—(5.2.6'):

155

Если ввести обозначения

p1 = y1, p2 = y2 , q1 = y3 , q2 = y4 , r1 = 15 − 3x1 − x2 , r2 =10 − x1 − x2 ,

раскрыть скобки и перенести все переменные в левые части ограничений (5.2.3')—(5.2.6'), а все константы — в правые части, то условия Каруша — Куна — Таккера примут следующий вид:

p1r1 = 0, p2r2 = 0, q1x1 = 0, q2 x2 = 0,

x1 0, x2 0, p1 0, p2 0, q1 0, q2 0, r1 0, r2 0, s1 0, s2 0.

Если в оптимальном решении этой задачи s1 = s2 = 0 , то набор чи-

сел x1 , x2 , p1 , p2 , q1 , q2 , r1 , r2 будет удовлетворять условиям Каруша — Куна — Таккера (5.2.10), значит, вектор

x1x2

будет являться оптимальным решением задачи (5.2.7)—(5.2.9).

156

В общем случае система условий Каруша — Куна — Таккера в дифференциальной форме представляет собой систему н е л и н е й н ы х уравнений, отыскание точных решений которой не всегда возможно, следовательно, невозможно найти точные решения задачи выпуклого программирования.

157

Поэтому для приближенного решения большинства задач выпуклого программирования необходимо использовать численные методы. В следующих параграфах мы рассмотрим несколько таких методов.

Существенность условий регулярности иллюстрируется следующим примером.

ПРИМЕР 5.2.2. Требуется решить задачу

f(x) = x →max , x2 0 .

Решение. Решение этой задачи очевидно: это точка x = 0 . При этом очевидно, что условие регулярности не выполняется, поскольку множество допустимых решений состоит из единственной точки x = 0 .

Составим для этой задачи функцию Лагранжа

L(x, y) = x − x2 y ,

Очевидно, данная система противоречива!

§ 5.3. МЕТОД ВОЗМОЖНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ

Основная идея метода возможных направлений такова. В каче-

стве начального приближения к оптимальному решению задачи выпуклого программирования (3.1.1)—(3.1.2) выбирается некоторая внутренняя точка X(0) множества допустимых решений [т. е. все ограничения (3.1.2) в этой точке должны выполняться как строгие неравенства].

Далее строится последовательность

Вектор e(k ) , определяющий направление перемещения из точки x( k ) в точку x( k +1) (на k-м шаге метода) должен удовлетворять двум т р е б о - в а н и я м:

1)при достаточно малых h(k ) точка x( k +1) , определяемая формулой (5.3.1), должна принадлежать множеству допустимых решений (т. е.

вектор e( k ) должен задавать в о з м о ж н о е н а п р а в л е н и е); в

158

частности, если точка x( k ) является граничной точкой множества допустимых решений, то вектор e(k ) должен быть направлен внутрь этого множества;

2)при достаточно малых h( k ) точка x( k +1) , определяемая формулой (5.3.1), должна принадлежать множеству допустимых решений [т. е.

наибольшего роста целевой функции f (X ) при перемещении из точки x( k ) в точку x( k +1) с учетом того, что новое приближение x( k +1) , определяемое формулой (5.3.1), должно оставаться во множестве допустимых решений.

Если очередное приближение x( k ) является в н у т р е н н е й точкой множества допустимых решений [т. е. в этой точке все ограничения (3.1.2) выполняются как строгие неравенства], то вектор e(k ) можно выбрать совпадающим с градиентом

Если же x( k ) является г р а н и ч н о й точкой множества допустимых решений, то некоторые из неравенств (3.1.2) в точке x( k ) обращаются в равенства. В этом случае движение в направлении градиента может вывести за пределы множества допустимых решений.

В этом случае возможное направление

возрастания целевой функции f (x) в точке x( k ) выбирается так, чтобы выполнялись следующие у с л о в и я.

1)угол между вектором e( k ) и вектором grad f (x(k ) ) должен быть как можно меньшим;

159

2) для каждого из ограничений i = i1, i2 , …, iq , активных в точке x( k )

(т. е. обращающихся в точке x( k ) в строгие равенства), угол между вектором e(k ) и внешней нормалью к гиперплоскости

касательной к границе множества допустимых решений в точке x( k ) , должен быть не меньше π / 2 (т. е. вектор e(k ) должен быть направлен внутрь множества допустимых решений задачи);

3)вектор E (1) должен быть ограниченным — поскольку направление определяется с точностью до положительного множителя, данное условие обеспечивает однозначность выбора e(1) .

Эти условия приводят к постановке следующей задачи:

Данную задачу можно свести к задаче линейного программирования, для этого нужно представить переменные e(jk ) (которые по смыслу за-

дачи (5.3.2)—(5.3.3) могут принимать значения произвольного знака) как разности e(jk ) = e(jk+) − e(jk−) новых н е о т р и ц а т е л ь н ы х переменных e(jk+) 0 , e(jk−) 0 и добавить условия e(jk+)e(jk−) = 0 (j = 1, 2, …, n).

При этом

160