Семестровая 1 (Методы оптимальных решений) / Методы оптимальных решений учебное пособие

11 = 0, p1 + q1 − c11 = 0, 0 + q1 −1 = 0, q1 = 1, 12 = 0, p1 + q2 − c12 = 0, 0 + q2 − 4 = 0, q2 = 4, 22 = 0, p2 + q2 − c22 = 0, p2 + 4 − 6 = 0, p2 = 2,

и т. д. В результате получим: q3 = 0, p3 = 6,q4 =1,q5 = −6 .

Затем по формуле (4.1.6) вычислим оценки всех свободных клеток:

Находим наибольшую положительную оценку:

(табл. 4.1.3).

141

Находим новые потенциалы, новые оценки. Наибольшую положительную оценку будет иметь свободная клетка (1, 4). Для нее строим цикл пересчета

(1, 4) — (1, 1) — (3, 1) — (3, 4),

производим перераспределение (на рис. 4.1.2, б ρmax = 20 ) и получаем тре-

является оптимальным.

142

143

Для вычисления потенциалов необходимо m + n – 1 уравнений (4.1.6), т. е. на каждом шаге метода потенциалов число занятых клеток должно сохраняться.

При этом в с л у ч а е н е в ы р о ж д е н н о й з а д а ч и все m + n – 1 компоненты базисного решения будут строго положительными, а всем свободным неизвестным будут соответствовать нулевые перевозки. В с л у ч а е в ы р о ж д е н н о й з а д а ч и некоторые из перевозок, соответствующие базисным неизвестным, также могут быть равны нулю, однако число базисных неизвестных остается равным m + n – 1.

Если на каком-либо шаге перераспределение поставок вдоль цикла пересчета приводит к освобождению более чем одной клетки, все освободившиеся клетки, за исключением одной (не важно, какой), нужно попрежнему считать занятыми. Для того в эти клетки вместо поставки вписывается число нуль, и эти клетки с ф и к т и в н ы м и п о с т а в к а м и участвуют в вычислении потенциалов наравне с другими.

План перевозок, содержащий фиктивные поставки, называется вырожденным. При следующем перераспределении перемещаться будут как раз нулевые, вырожденные поставки, и план перевозок фактически не изменится. Но при этом изменится набор занятых клеток, изменятся потенциалы и оценки свободных клеток, и решение можно будет продолжать.

ПРИМЕР 4.1.2. Требуется решить транспортную задачу со следую-

3

РЕШЕНИЕ. Общий объем производства ∑ai = 20 + 40 +10 = 70 совпа-

i =1

4

дает с суммарными запросами потребителей ∑bj = 20 + 50 = 70 , значит,

j =1

транспортная задача является закрытой. Построим в табл. 4.1.7 первое базисное допустимое решение по правилу северо-западного угла.

В задаче m = 3 поставщика, n = 2 потребителя, значит, должно быть заполнено m + n – 1 = 3 + 2 – 1 = 4 клетки транспортной таблицы, но в табл. 4.1.7 заполненными являются только три клетки. В связи с этим невозможно вычислить потенциалы и проверить оптимальность плана перевозок.

Проблема решается просто: достаточно заполнить еще одну клетку фиктивной нулевой поставкой. Например, поставим нуль в клетку (1, 2), теперь у нас заполнены четыре клетки, можно вычислить потенциалы

(табл. 4.1.8).

Вычисленные оценки 21 = 0, 31 = −3 свидетельствуют об оптимальности плана перевозок, содержащегося в табл. 4.1.8.

144

ПРИМЕР 4.1.3. Требуется решить транспортную задачу со следующими исходными данными:

3

РЕШЕНИЕ. Общий объем производства ∑ ai = 25 + 15 + 15 = 55 совпада-

i =1

4

ет с суммарными запросами потребителей ∑ bj = 15 + 40 = 55 , значит,

j =1

транспортная задача является закрытой.

Построим в табл. 4.1.9 первое базисное допустимое решение по правилу северо-западного угла.

145

31 = 1. Для клетки (2, 1) строим цикл пересчета и перераспределяем поставки. При этом, как видно в табл. 4.1.10, освобождаются две клетки —

(1, 1) и (2, 2).

Чтобы число занятых клеток оставалось равным m + n – 1 = 4, запишем в клетку (1, 1) фиктивную поставку (табл. 4.1.11).

Теперь можно вычислить потенциалы, определить оценки свободных клеток 22 = −5, 31 = 1. Для клетки (3, 1) строим цикл пересчета и пе-

146

Перейдем к обсуждению экономического смысла оценок клеток и потенциалов.

О ц е н к а с в о б о д н о й к л е т к и ij показывает, насколько уменьшатся суммарные расходы по перевозке груза, если поставить единицу груза от i-го производителя j-му потребителю (перераспределив остальные поставки так, чтобы сохранился баланс по строкам и столбцам).

П о т е н ц и а л ы же интерпретируются следующим образом. Производитель с номером i уплачивает перевозчику одну и ту же цену pi за вывоз единицы груза (не важно, какому потребителю этот груз достанется); потребитель с номером j уплачивает перевозчику одну и ту же цену qj за получение единицы груза (не важно, от какого производителя этот груз доставлен); сумма цен, взимаемых при этом с любой пары «производитель

– потребитель», не превосходит реальной стоимости перевозки единицы груза от данного производителя к данному потребителю:

147

При этом и производители, и потребители не заплатят перевозчику больше, чем реальные транспортные расходы, потому перевозчик может установить цены так, чтобы максимизировать свою прибыль:

при условиях (4.1.10).

Переменные pi и qj при этом могут быть как положительными, так и отрицательными: не исключено, что перевозчик платит определенному производителю за право перевозить его продукцию (или потребителю — за право доставлять ему продукцию):

pi , q j .

Задача максимизации функции (4.1.6)—(4.1.7) является двойственной к транспортной задача (4.1.2)—(4.1.5), и приведенная экономическая интерпретации оценок клеток и потенциалов основана на теоремах двойственности.

В реальных условиях pi и qj — это не цены, а надбавки к основному тарифу перевозчика, единому для всех производителей и потребителей.

Усложним транспортную задачу путем учета обязательных и за-

прещенных поставок.

Предположим, что в потребитель iз. поставил условие, чтобы ему не поставляли товар от поставщика jз., а потребитель iоб. потребовал обязательной поставки не менее yiоб. jоб. от поставщика jоб.. Такую задачу можно

решить методом потенциалов с незначительными модификациями. Вопрос с обязательными поставками решается очень легко: нужно

поставку необходимого количества товара предусмотреть прежде всего, а потом решить транспортную задачу с уменьшенными на yiоб. jоб. (если это,

конечно, возможно) параметрами aiоб. и bjоб. .

Что касается запрещенных поставок, то запрет эквивалентен установлению для данного маршрута транспортного тарифа, равного +∞ . На практике соответствующую клетку в транспортной таблице просто зачеркивают и никогда не заполняют, ни при построении первого базисного решения, ни в процессе последующих шагов.

ПРИМЕР 4.1.4. Требуется решить транспортную задачу из примера 4.1.3 при условии, что первому потребителю должно быть поставлено не менее пяти единиц товара от первого поставщика, а поставки от второго поставщика первому потребителю запрещены.

148

Решение. Произведем вначале обязательную поставку 5 единиц товара от первого поставщика первому потребителю. Тогда у первого поставщика останется еще 25 – 5 = 20 нераспределенных единиц товара, а первому потребителю останется поставить 15 – 5 = 10 единиц.

Заполнив транспортную таблицу в табл. 4.1.13, построим в табл. 4.1.13 первое базисное допустимое решение.

Вычисляем потенциалы, находим оценку единственной свободной

значит, план перевозок, содержащийся в табл. 4.1.14, является оптимальным.

Вспомним теперь об оптимальной поставке и запишем окончательный оптимальный план перевозок с учетом обязательной и запрещенной поставок:

149

При этом суммарная стоимость перевозок равна

z = 5 ×5 + 2 × 20 + 2 × 0 + 4 ×15 + 5 ×10 + 3×5 =190 ден. ед.,

это на 65 ден. ед. больше чем в примере 4.1.3.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1.Фирма может выпускать два вида изделий, используя четыре вида оборудования. По нормативам для изготовления одного изделия первого вида оборудование первого, второго, третьего и четвертого вида придется занять соответственно на 2, 3, 4 и 1 день. Аналогично, для изготовления одного изделия второго вида те же станки придется занять в течение 6, 3, 0, 2 дней соответственно. Известен фонд времени оборудования первого вида равен 18 дням, второго вида — 15

дням, третьего и четвертого — соответственно 16 и 8 дням. Удельная прибыль от производства одного изделия первого вида составляет 600 руб., а от производства одного изделия второго вида — 900 руб. Составьте математическую модель поставленной задачи и решите эту задачу: а) графическим методом; б) симплексным методом. Найдите оптимальный план производства, обеспечивающий фирме наибольшую прибыль, а также двойственные оценки каждого вида оборудования и дайте им экономическую интерпретацию.

2.Фирма выпускает из железа и проволоки трансформаторы двух видов. На один трансформатор первого вида тратится 5 кг железа и 3 кг проволоки, изготовление одного трансформатора второго вида требует затрат 3 кг железа и 2 кг проволоки. От реализации одного трансформатора фирма получает прибыль 600 и 500 руб. соответственно. Ежемесячно фирма закупает для 4,8 т железа и 3 т проволоки. Определите: а) сколько трансформаторов каждого вида необходимо выпускать для получения максимальной прибыли; б) каковы двойственные оценки ресурсов; в) по каким максимальным ценам имеет смысл закупать ресурсы; г) каковы остатки ресурсов после выполнения месячного оптимального плана производства; д) какие ресурсы образуют узкие места; е) какое оптимальное количество ресурсов, образующих узкие места, следует заказать дополнительно.

3.Запасы однородного товара на складах заданы вектором a, заявки клиентов на доставку данного товара — вектором b, матрица C содержит транспортные тарифы. Стоимость хранения каждой недо-

150