Семестровая 1 (Методы оптимальных решений) / Пример решения ЗЛП графическим методом и анализ чувствительности модели

3. Пример задания № 1

В качестве примера выполнения задания рассмотрим следующую задачу:

1. Решение задачи графическим способом

Построим область допустимых решений – многоугольник OMDBK (рис. 1).

Рис. 1. Решение задачи графическим способом

Определим оптимальное решение. Оптимальное решение достигается в точке В. Значения переменных в точке оптимума и  определим, решая систему уравнений:

= 38/3

То есть решение задачи: .

2. Анализ решения

2.1. Определим статус ресурсов.

Ресурсы, ассоциированные с ограничениями I и II (на пересечении дают точку оптимального значения), являются дефицитными, а с ограничением III – недефицитными.

2.2. Определим пределы увеличения правых частей ограничений, в которых сохраняется оптимальный базис.

Ограничение I.

При увеличении ресурса, ассоциированного с I ограничением, прямая I-I перемещается вверх параллельно самой себе. Смена базиса произойдёт в точке А. Координаты точки А определим из системы уравнений (пересечение ограничения I и III):

Подставляем координаты найденной точки в левую часть ограничения I. Запас ресурса I можно увеличить до значения:

тогда    где  верхний предел изменения .

Найдем изменение целевой функции L(A) – L(B) =3*7/3 + 2*10/3 – 38/3 = 1

Таким образом, дефицитный ресурс I можно максимально увеличить на 3 единицы и это даст увеличение прибыли на 1 ед.

Ограничение 2.

При увеличении ресурса, ассоциированного со II ограничением, прямая II-II перемещается вверх параллельно самой себе. Смена базиса произойдёт в точке С. Координаты точки С определим из системы уравнений:

Запас ресурса II можно увеличить до значения 2´6+0=12, тогда

Найдем изменение целевой функции L(A) – L(B) =3*6 + 2*0 – 38/3 = 16/3

Таким образом, дефицитный ресурс II можно максимально увеличить на 4 единицы и это даст увеличение прибыли на 5,33 ед.

Ограничение 3.

При увеличении ресурса, ассоциированного с ограничением III, прямая III-III перемещается вверх параллельно самой себе. Базис будет сохраняться для точки З (0,4). Подставим точку в левую часть ограничения III.

-0+4=4 и максимальное увеличение ресурса = 4-1 =3

Найдем изменение целевой функции L(З) – L(B) =3*0 + 2*3 – 38/3 = -20/3

Таким образом, увеличение не дефицитного ресурса Ш приводит к уменьшению значения целевой функции и не целесообразно.

2.3. Определим ценность ресурсов, ассоциированных с ограничениями  и какой из :

;

;

;

Таким образом наиболее выгодно увеличить ресурс второго типа.