Общие требования

Семестровая работа по курсу «Методы оптимальных решений» состоит из решения задач по основным разделам курса. Каждая задача должна быть решена по индивидуальному варианту, определяемому номером студента по списку группы. Полученное решение – выписано и проанализировано. Все вычисления по ходу решения задач должны быть подробно записаны. Семестровая работа оформляется в тетради, или на формате А4 и сдается частями по разделам преподавателю на оценку. Проверенную работу студент должен исправить в соответствии со сделанными преподавателем замечаниями и защитить в процессе собеседования по вопросам, связанным с методикой решения задач.

Задание 1. Графический и симплекс-метод решения задач линейного программирования.

Задача 1.1 Графический метод решения задач линейного программирования.

1. Составить математическую модель по условию задачи (№ задачи соответствует последней цифре номера студента по списку группы).

2. Решить задачу геометрическим способом.

3. Проверить модель на чувствительность к правым частям ограничений.

4. Сделать выводы.

№ 1. Фабрика выпускает продукцию двух видов: П1 и П2. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства этой продукции используются три исходных продукта – А, В, С. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6, 8 и 5 т. соответственно. Расходы сырья А, В, С на 1 тыс. изделий П1 и П2 приведены в таблице.

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на 1 тыс. изделий (т)			Максимально возможный запас (т)
	П1	П2
А	1	2	6
В	2	1	8
С	1	0,8	5
Цена, тыс. руб.	3	2

Изучение рынка сбыта показало, что спрос на изделие П2 никогда не превышает 2 тыс. шт. в сутки. Какое количество изделий (в тыс. шт.) каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

№ 2. В торговом зале необходимо выставить для продажи товары Т1 и Т2. Рабочее время продавцов не превышает 340 часов, а площадь торгового зала, которую можно занять, не превышает 120 м². Каждая реализованная единица товара приносит прибыль соответственно в 50 и 80 ден. ед. Нормы затрат ресурсов на единицу проданного товара составляют:

Ресурсы	Т1	Т2
Рабочее время, ч	0,4	0,6
Площадь, м2	0,2	0,1

Найти оптимальную структуру товарооборота (сколько продавать товаров Т1 и Т2), обеспечивающую максимальную прибыль.

№ 3. Прядильная фабрика для производства 2 видов пряжи использует три типа сырья – чистую шерсть, капрон и акрил.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на 1 т пряжи		Количество сырья
	Вид 1	Вид 2
Шерсть Капрон Акрил	0,5 0,1 0,4	0,2 0,4 0,2	600 620 500
Прибыль от реализации пряжи	1100	900

Требуется составить оптимальный план производства пряжи с целью максимизации суммарной прибыли.

№ 4. Чаеразвесочная фабрика выпускает чай сорта А и В, смешивая 3 ингредиента: индийский, грузинский и краснодарский чай.

Ингредиенты	Нормы расхода (т/т)		Объем запасов (т)
	А	В
Индийский чай Грузинский чай Краснодарский чай	0,5 0,2 0,3	0,2 0,6 0,2	600 870 430
Прибыль от реализации 1 т продукции	320	290

Требуется составить план производства чая, максимизирующий прибыль.

№ 5. Фабрика молочных изделий производит йогурты двух видов А и В. В день реализуется до 1500 йогуртов. Для производства одной баночки йогурта вида А требуется 400 г «основы», а для производства одной баночки вида В – 200 г «основы». Всего «основы» в неделю изготавливается 8000 кг. На изготовление одной баночки А расходуется 5 мин., на изготовление баночки В расходуется 3 мин. Всего оборудование в неделю можно использовать 150 часов. Составить оптимальный план производства йогуртов А и В, чтобы получить максимальную прибыль, если прибыль с одной баночки йогурта А составляет 4 рубля, а с одной баночки В – 2 рубля.

№ 6. Магазин продает два вида безалкогольных напитков: Кока–Колу и квас. Доход от одной банки колы составляет 5 центов, а от кваса — 7 центов. В среднем магазин продает не более 500 банок обоих напитков ежедневно. Несмотря на то, что Кока-Кола известная торговая марка, покупатели предпочитают квас, поскольку они значительно дешевле и вкуснее. Отделом продаж определено, что объемы продаж колы и кваса в натуральном исчислении должны соотноситься не менее чем 1:2. Кроме того, известно, что магазин продает не менее 100 банок колы в день.

Как наилучшим образом спланировать руководству магазина запасы напитков в начале дня, чтобы получить максимальный доход?

№ 7. Банк в течение нескольких месяцев планирует вложить до $200 000 в кредитование частных лиц и покупок автомобилей. Банковские комиссионные составляют 14% при кредитовании частных лиц и 12% при кредитовании покупок автомобилей. Оба типа кредитов возвращаются в конце годичного периода кредитования. Известно, что 3% клиентских и 2% автомобильных кредитов никогда не возвращаются. Объемы кредитов на покупку автомобилей обычно более чем в 2 раза превышают объемы кредитов для частных лиц.

Руководство банка хотело бы знать, как можно оптимизировать размещение средств по указанным типам кредитов, чтобы получить максимальную прибыль.

№ 8. Фирма Wild West выпускает ковбойские шляпы двух типов (А и В). Производство шляпы типа А требует в 2 раза больше временных ресурсов, чем производство шляпы второго типа В. Если бы фирма выпускала только шляпы типа В, суточный объем производства мог бы составить 400 таких шляп ( на 1 шляпу - 0,06 часа, или 10 мин). Рынок накладывает ограничения: суточный объем сбыта шляп типа А не более 150, а шляп типа В — 200 штук. Доход от производства шляп типа А составляет $8, а шляп типа В — $5. Определить, как наилучшим образом спланировать производство шляп, чтобы получить максимальный доход.

№ 9. Компания Woodco производит столы и стулья, которые делаются из дуба и из сосны. Компания имеет в своем распоряжении 150 кв. м. дуба и 210 кв. м. сосны. Для производства одного стола требуется 17 кв.м. дуба и 30 кв.м. сосны. Для производства одного стула необходимо 5 кв.м. дуба и 13 кв.м. сосны. Стоимость одного стола $40, одного стула — $15. Требуется определить: каким образом компания Woodco может максимизировать свою прибыль.

№ 10. Компания Bloomington Brewery производит пиво и эль. Пиво продается по цене $5 за декалитр, а эль — $2. Для производства одного декалитра пива необходимо 5 кг. зерна и 2 кг. хмеля, а для производства эля — 2 кг. зерна и 1 кг хмеля. В распоряжении компании имеется 60 кг. зерна и 25 кг. хмеля. Необходимо определить, каким образом оптимально распределить производство напитков, чтобы компания получила максимальную прибыль.

ЗАДАЧА 2. Симплексный метод решения задач линейного программирования

Для изготовления различных видов продукции 1, 2, 3 и 4 предприятие использует три вида сырья А, В и С. Нормы расхода сырья на производство единицы продукции каждого вида, цена одного изделия, а также запас каждого вида ресурса известны и приведены в таблице 1.1. Составить такой план производства продукции, при котором предприятие получит максимальную прибыль.

Исходные данные задачи выбрать в таблицах 1 и 2 в соответствии с вариантом.

Таблица 1. – Нормативы затрат ресурсов на единицу продукции каждого вида

(общие для всех вариантов)

РЕСУРС	ВИДЫ ПРОДУКЦИИ					ЗАПАС РЕСУРСА
	1	2	3	4
А	6	8	4	7	b1
В	5	6	2	10	b2
С	8	12	10	14	b3
Цена изделия, долл.	a1	a2	a3	a4

Задание 1.

Выбрать из таблиц исходные данные своего варианта и обозначить неизвестные задачи.

• Составить математическую модель задачи (сформировать систему ограничений и целевую функцию);

• привести систему ограничений к каноническому виду, обозначив и введя дополнительные переменные;

• построить симплексную таблицу и заполнить её первоначальным опорным планом;

• пользуясь алгоритмом симплексного метода, найти оптимальное решение задачи;

• провести его экономический анализ и сделать выводы.