Семестровая 1 (Методы оптимальных решений) / Методы оптимальных решений учебное пособие

откуда, учитывая соотношение (3.4.1), получаем

и так как это неравенство справедливо для любого решения x исходной задачи, то решение x является оптимальным для исходной задачи.

Аналогично доказывается оптимальность решения y двойственной задачи. Следовательно, условие (3.4.1) является достаточным для того, чтобы x и y являлись оптимальными решениями соответствующих задач

двойственной пары.

Таким образом, план производства продукции и вектор оценок ресурсов является оптимальными, если цена всей произведенной продукции и суммарная оценка ресурсов совпадают.

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ. Если одна из задач двойственной

пары имеет оптимальное решение, то и другая имеет оптимальное решение, причем экстремальные значения целевых функций совпадают; если же целевая функция одной из задач не ограничена, то система условий

другой задачи противоречива.

Заметим сразу же, что если в одной из задач система ограничений противоречива, то в двойственной задаче она также может оказаться противоречивой, т. е. последнее утверждение первой теоремы двойственности не допускает обращения; таковы, например, задачи

Связь между задачами двойственной пары глубже, чем указано в формулировке теоремы. Оказывается, что симплексный метод, примененный к одной из задач, автоматически приводит к решению другой задачи.

Доказательство. Запишем в табл. 3.4.1 первую и последнюю симплексные таблицы для исходной задачи из симметричной пары. В первой симплексной таблице базисными неизвестными являются xn+1 , xn+2 , …, xn+m , им соответствуют нулевые коэффициенты целевой

функции и нулевые симплексные оценки, а в столбцах первой симплексной таблицы под этими неизвестными записана единичная матрица. Неизвестные x1, x2 , …, xn в первой симплексной таблице

являются свободными, им соответствуют коэффициенты целевой функции c1, c2 , …, cn и симплексные оценки −c1, -c2 , …, − cn , а в столбцах первой симплексной таблицы под этими неизвестными записана матрица A.

101

Т а б л и ц а 3.4.1

В последней симплексной таблице на месте единичной матрицы будет обращенный базис Q–1 , при этом базисным будет некоторый набор

базисное решение будет определяться вектором

h1 h = h2 ,hm

а максимальное значение целевой функции исходной задачи будет равно

z = chɶ .

При этом матрица A(1), стоящая под неизвестными x1, x2 , …, xn в последней симплексной таблице, определяется как

A(1) = Q−1A ,

а вектор оптимального базисного решения

h = Q−1b .

Обозначим симплексные оценки в последней таблице

102

и условия оптимальности решения, содержащегося в последней симплексной таблице, можно переписать в виде

допустимым решением этой задачи. Вектор y является допустимым решением двойственной задачи, поскольку

y AT = AT (y )T = ATdT2 = (d2 A)T = (cQɶ −1A)T = (cAɶ (1) )T cT .

При этом значение целевой функции двойственной задачи на векторе y равно

f = y b = d2b = cQɶ −1b = ch = z .

Таким образом, согласно достаточному условию оптимальности решений пары взаимно двойственных задач y является оптимальным ре-

шением двойственной задачи, и первая часть теоремы доказана для симметричной пары двойственных задач (случай несимметричной пары, как обычно, оставляем читателю).

Отметим, что базисному оптимальному решению исходной задачи соответствует базисное оптимальное решение двойственной задачи, которое оказывается записанным в последней строке окончательной симплексной таблицы исходной задачи.

103

Перейдем к доказательству второй части теоремы. Пусть функция z не ограничена сверху. Рассмотрим некоторое допустимое решение двойственной задачи y , значение целевой функции двойственной задачи на

этом решении обозначим f = y b — очевидно, f < +∞ . Так как целевая функция исходной задачи не ограничена на множестве допустимых решений, найдется такое допустимое решение x , что значение z целевой функции исходной задачи на этом решении будет больше числа f + 1 : z = cx > f +1 . Но согласно основному неравенству теории двойственности cx y b , поэтому можно записать:

f +1 < cx y b = f —

получили противоречие, доказывающее вторую часть теоремы. Экономическое содержание основной теоремы двойственности

состоит в том, что в терминах оценок данная теорема может быть сформулирована следующим образом: если задача определения оптимального плана, максимизирующего выпуск продукции, разрешима, то разрешима и задача определения минимальных оценок ресурсов, причем цена продукта, полученного реализацией оптимального плана, совпадает с суммарной оценкой имеющихся ресурсов.

ТЕОРЕМА О ДОПОЛНЯЮЩЕЙ НЕЖЕСТКОСТИ. Для того, чтобы допустимые

решения

пары двойственных задач являлись оптимальными решениями этих задач, необходимо и достаточно выполнение условий

т. е. если какое-либо неравенство системы ограничений одной из задач не обращается в точное равенство оптимальным решением этой задачи, то соответствующая компонента оптимального решения двойственной задачи должна равняться нулю; если же какая-либо компонента оптимального решения одной из задач положительна, то соответствующее ограничение в

104

мальными решениями пары двойственных задач. В силу условий (3.4.2) и (3.4.5) должны выполняться неравенства

а так как по основной теореме двойственности

cx = yb

соотношения (3.4.9) должны иметь вид строгих равенств:

Из равенства (3.4.10) следует, что

откуда, учитывая, что все xj и все выражения в скобках неотрицательны, получаем:

105

и соотношения (3.4.7) доказаны.

Аналогично из равенства (3.4.11) получаем. что

откуда, в силу неотрицательности как yi , так и выражений в скобках, следует, что каждое слагаемое

должно быть равно нулю, и мы приходим к соотношениям (3.4.8). Достаточность. Просуммируем равенства (3.4.7) по j, а равенства

(3.4.8) по i. Получим, что

откуда видно, что значения целевых функций пары двойственных задач в точках x и y совпадают.

Тогда согласно достаточному условию оптимальности решений пары взаимно двойственных задач x и y являются оптимальными решени-

ями соответствующих задача двойственной пары, и теорема о дополняющей нежесткости полностью доказана.

Рассмотрим экономическое содержание второй теоремы двойственности. Для этого обратимся последовательно к утверждениям

(3.4.7')—(3.4.7'') и (3.4.8')—(3.4.8''). Утверждения (3.4.7') и (3.4.7'') можно истолковать следующим образом.

Если по оптимальному плану производства x расход i-го ресурса

n

∑aij x j < bi , j=1

то оценка yi единицы этого ресурса равна нулю:

yi = 0 ;

если же оценка i-го ресурса строго больше нуля:

106

yi > 0 ,

то расход этого ресурса равен его запасу:

n

∑aij x j = bi . j=1

Таким образом, оценки оптимального плана выступают как м е р а д е ф и ц и т н о с т и р е с у р с о в. Дефицитный ресурс, полностью используемый по оптимальному плану производства, имеет положительную оценку, а недефицитный ресурс, не полностью используемый, имеет нулевую оценку.

Условия (3.4.8') и (3.4.8'') можно истолковать так. Если суммарная

оценка m a y ресурсов, расходуемых при производстве единицы j-го про-

∑ ij i i=1

дукта, строго больше цены этого продукта:

m

∑ aij yi > c j , i=1

то j-й продукт по оптимальному плану производить не следует:

x j = 0 ;

если же по оптимальному плану производства j-й продукт производится, т. е.

x j > 0 ,

то суммарная оценка ресурсов, необходимых для производства единицы j- го продукта, должна быть равна цене этого продукта:

m

∑ aij yi = c j . i=1

Таким образом, оценки оптимального плана выступают как инструмент определения эффективности отдельных технологических способов. Данный способ производства используется в том и только в том случае, когда при его реализации оценка затраченных ресурсов и цена полученной продукции совпадают.

Предположим, что в условиях исходной задачи (3.4.1)—(3.4.3) вектор запасов ресурсов изменился и стал равен не b, а bнов. = b + t . При этом в

последней симплексной таблице, схематично представленной в табл. 3.4.1, изменится только столбец h — вместо h = Q−1b он будет равен

hнов. = Q−1 (b + t) = Q−1b + Q−1t = h + Q−1t ,

а также оптимальное значение целевой функции — вместо z = chɶ оно будет равно

107

zнов. = chɶ нов. = cQɶ −1 (b + t) = cQɶ −1b + cQɶ −1t = chɶ + cQɶ −1t = z + y t .

где мы учли, что Q −1b = h, chɶ = z , cQɶ −1 = y .

Поскольку симплексные оценки в последней строке последней симплексной таблице не изменились и остались неотрицательными, решение hнов. будет оптимальным решением задачи с измененными правыми

частями в том и только в том случае, когда оно будет допустимым. Но всем ограничениям по ресурсам это решение удовлетворяет по построению, значит, оно будет оптимальным в том и только в том случае, когда будет неотрицательным:

hнов. = h + Q−1t θ .

Таким образом, доказано еще одно утверждение.

УСЛОВИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ДВОЙСТВЕННЫХ ОЦЕНОК. Для того чтобы двой-

ственные оценки ресурсов не изменились при изменении вектора запасов ресурсов с b до b + t , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

h + Q−1t θ .

Тесная связь между решениями пары двойственных задач линейного программирования состоит также и в том, что характер изменения величины z* можно определить с помощью компонент оптимального решения двойственной задачи.

ТЕОРЕМА ОБ ОЦЕНКАХ ВЛИЯНИЯ РЕСУРСОВ НА ВЫПУСК ПРОДУКЦИИ. Значения

переменных yi в оптимальном решении двойственной задачи представ-

ляют собой оценки влияния правых частей bi системы ограничений исходной задачи на величину максимума ее целевой функции:

∂z = yi . ∂bi

Доказательство. Пусть

108

тогда

поэтому

что и требовалось доказать. Остается указать на экономическое содержание данной теоре-

мы — оно очевидно: двойственная оценка ресурса — это приращение выручки, приходящееся на единицу приращения этого ресурса.

Поэтому докупать дополнительно i-й ресурс имеет смысл тогда и только тогда, когда его рыночная цена pi меньше двойственной оценки yi.

Заметим, что здесь речь идет лишь о достаточно малых приращениях ресурсов, так как изменение величины bi в некоторый момент вызовет изменение оценок yi.

Двойственные оценки позволяют выявить направление мероприятий по р а с ш и в к е у з к и х м е с т п р о и з в о д с т в а, обеспечивающих получение наибольшего экономического эффекта.

Аналогично можно рассмотреть вопрос об области устойчивости решения исходной задачи при изменении вектора цен с с до c + m. Для этого нужно записать условие устойчивости применительно к двойственной задаче — предлагаем читателю самостоятельно записать такое условие.

§ 3.5. ДВОЙСТВЕННЫЙ СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД

Доказательство основной теоремы двойственности дает идею метода решения задач линейного программирования, в которых система ограничений не имеет предпочитаемой формы.

Рассмотрим, например, задачу (3.4.4)—(3.4.6). Запишем в развернутом виде:

y1 0, y2 0, …, ym 0, ym+1 0, ym+2 0, …, ym+n 0,

109

сразу заменив неравенства на уравнения с помощью введения дополнительных балансовых неизвестных ym+1 , ym+2 , …, ym+n .

Ясно, что симплексный метод для решения данной задачи напрямую неприменим, поскольку ни в одном из уравнений нет базисной неизвестной.

Можно к решению данной задачи применить метод искусственного базиса, но тогда придется ввести еще n искусственных базисных неизвестных, и общая размерность системы ограничений составит n × (m + 2n) .

Однако совершенно очевидно, что задача (3.4.4)—(3.4.6), двойственная к (3.4.4)—(3.4.6), имеет размерность системы ограничений m × n и может быть решена обычным симплексным методом, при этом последняя симплексная таблица в строке оценок содержит оптимальное решение двойственной задачи:

ПРИМЕР 3.5.1. Требуется составить задачу, двойственную к задаче о диете из примера 3.3.1, решить составленную задачу и найти решение задачи о диете из последней симплексной таблицы.

Решение. Задача о диете из примера 3.3.1 имела следующий вид:

z = 60x1 + 50x2 → min,

y1 0, y1 0, y3 0,

которую решим обычным симплексным методом (табл. 3.5.1).

В последней строке симплексной таблицы видим решение исходной задачи: x1 =1 / 5, x2 =1. В данном примере мы нашли решение гораздо

быстрее, чем с по метода мощью искусственного базиса.

Двойственный симплексный метод основывается именно на этой идее, только он применяется сразу к исходной задаче, в которой не выделен базис, не требуя составления двойственной задачи в явном виде.

110