Семестровая 1 (Методы оптимальных решений) / Методы оптимальных решений учебное пособие

Из табл. 7.2.3 значений u2 (x3 ) находим u2 = u2 (x3 =1)= 2 .

Аналогично, продолжая двигаться в обратном направлении и учитывая, что

x2 + u2 − d 2 = x3 или 2 + x2 − 2 = 1 ,

получаем

x2 = 1 ; из табл. 7.2.2 значений u1 (x2 ) находим

u1 = u1 (x2 =1) = 2 .

Итак, оптимальный план производства имеет вид

а минимальные общие затраты составляют 62 единицы.

Полезна с а м о п р о в е р к а полученного результата. Для этого по исходным данным и найденному плану производства заполняем табл. 7.2.5 и убеждаемся, что заявки потребителей на каждом этапе выполняются:

и что суммарный объем производства и имевшегося к началу первого этапа запаса продукции равен суммарной потребности

x1 +u1 +u2 +u3 = d1 + d2 + d3 , 2 + 2 + 2 + 3 = 3 + 2 + 4,

причем это достигается при наименьших возможных затратах на производство и хранение продукции:

ϕ(u1) + ϕ(u2 ) + ϕ(u3 ) + h1x2 + h2 x3 = F3 (x4 = 0), 16 + 16 + 26 + 1 + 4 = 62.

Читателю рекомендуется найти другой вариант оптимальной производственной программы, когда на последнем этапе предполагается произвести четыре единицы продукции, и выполнить самопроверку.

§ 7.3. ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯОПЦИОНОВ

Акция — это д о л е в о е обязательство: ее обладатель получает право долевого участия в управлении акционерной компанией, выпустившей эти акции (каждой акции соответствует определенное число голосов на ежегодном общем собрании акционеров — высшем органе управления компанией), в активах и прибылях (дивидендах) этой компании.

223

ствия арбитражных возможностей можно с помощью только что полученного условия вычислить так называемые вероятности, нейтральные к риску: пусть p — вероятность того, что в начале следующего периода цена акции окажется равной S0u, тогда вероятность того, что цена акции будет равна S0d, составит (1 – p); при этом

MS1 = S0up + S0d(1 – p).

Отсюда

S0up + S0d(1 – p) = S0(1 + i).

Разделим обе части этого равенства на S0:

Предположим теперь, что проценты на банковский счет начисляются n > 1 раз в год, и в каждом периоде начисления процентов стоимость акции может увеличиться в u или в d раз. Вероятность того, что стоимость акции увеличится в u или в d раз, неизвестна, однако можно вновь воспользоваться принципом вероятности, нейтральной к риску.

При этом процентная ставка будет скорректирована: за n-ю часть года начисляется процент i/n, т. е. в числителе формулы (7.3.1) вместо

(1 + i) будет (1 + i/n):

[индекс (n) здесь означает, что проведена коррекция годовой ставки с учетом того, что год разбивается на n периодов].

Процесс изменения цены акции в течение года проиллюстрирован рис. 7.3.2. Этот процесс можно представить как последовательность n независимых испытаний, в которых успехом считается повышение цены акции в u раз, а неудачей — ее понижение в 1/d раз. Если в течение n периодов цена акции поднималась k раз и опускалась (n – k) раз, то ее цена к концу последнего периода составит sk = S0ukdn – k . Вероятность наступления k повышений

и (n – k) понижений цены акции составит по ф о р м у л е Б е р н у л л и

Pn (k ) = Cnk pk (1 − p)n−k .

Вероятность успеха p здесь имеет смысл оценить с помощью нейтральной к риску вероятности p(n), определяемой формулой (7.3.2). Таким образом, цена акции к концу года может принимать значения

sk = S0ukd n – k

с вероятностями

225

Наиболее распространенные типы производных финансовых инструментов — форварды и опционы.

Опцион — это ценная бумага, представляющая собой договор, эмитент которого получает от держателя определенную премию, и за это держатель п о л у ч а е т п р а в о (но не обязанность) в течение срока, оговоренного в условиях опциона, либо к у п и т ь у эмитента определенный актив по фиксированной цене, определенной в договоре и называемой

терминальной стоимостью (такой опцион называется опционом покупа-

теля), либо п р о д а т ь актив эмитенту по терминальной стоимости (такой опцион называется опционом продавца).

По срокам исполнения опционы делятся на европейские и американские. Американский опцион может быть предъявлен к исполнению в любое время до истечения срока опциона, европейский опцион может быть использован только в день истечения его срока.

Рассмотрим ценообразование европейских опционов в рамках биномиальной модели.

Рациональной считается такая стоимость финансового инструмента, которая исключает возможность арбитража без риска; иными словами, доходность безрискового финансового инструмента, имеющего рациональную стоимость, должна совпадать с доходностью банковского счета.

Найдем рациональную стоимость T стандартного европейского опциона покупателя. Очевидно, рациональная стоимость опциона в момент его исполнения совпадает с прибылью, которую можно получить, исполнив опцион. Данный опцион имеет смысл и с п о л н я т ь, т. е. пользоваться заложенным в нем правом покупки акции по цене X, лишь в том случае, когда рыночная цена ST этой акции к моменту окончания срока действия опциона, т. е. к концу последнего периода, будет больше X . Если рыночная цена акции ST окажется больше X, держатель опциона, исполнив его, получит доход (ST – X). Если же рыночная цена акции Sm окажется меньше X, держатель опциона просто не будет его исполнять и получит нулевой доход. Таким образом, если цена акции в момент исполнения опциона известна и равна ST, то доход от исполнения такого опциона соста-

вит C = max{ST – X; 0}. Поскольку цена акции ST является случайной вели-

чиной, определяемой рядом распределения (7.3.3), доход от исполнения опциона покупателя также является случайной величиной, которая принимает значения

ck = max{S0ukd m – k – X; 0} (k = 0, 1, 2, … , m)

с вероятностями

Pm (k) = Ckm p(kn) (1− p(n) )m−k .

Оценка опциона происходит перед началом первого периода, поэтому для получения его рациональной стоимости T достаточно дисконтировать ожидаемый доход от исполнения опциона на срок его действия:

227

формационных технологий перенес «борьбу» инвесторов в область проведения быстрых и аккуратных расчетов и принятия решений.

ТЕОРЕМА О ПАРИТЕТЕ ЕВРОПЕЙСКИХ ОПЦИОНОВ ПОКУПАТЕЛЯ И ПРОДАВЦА.

Пусть одновременно заключаются два опционных контракта (опцион покупателя и опцион продавца) с одной и той же ценой исполнения X и одним и тем же сроком исполнения T на одну и ту же акцию, стоимость которой в начальный момент равна S0, годовая эффективная процентная ставка при n начислениях процентов в году равна i. Тогда рациональные стоимости этих опционов CT и PT связаны равенством

Доказательство. Пусть одновременно заключаются два опционных контракта (опцион покупателя и опцион продавца) с одной и той же ценой исполнения X и одним и тем же сроком исполнения T на одну и ту же акцию, стоимость которой в начальный момент равна S0, банковская (годовая) процентная ставка равна i и пусть CT и PT — рациональные стоимости этих опционов.

Рациональность стоимости означает, что из инструментов с такой стоимостью невозможно создать безрисковый портфель, доходность которого превысит безрисковую доходность. Если

PT −CT + S0 > + X [nT ] ,

(1 i / n)

то для получения безрисковой прибыли можно использовать следующую торговую стратегию: одновременно продать акцию, продать опцион продавца на нее и купить опцион покупателя. Тогда в начальный момент времени будет получена сумма PT – CT + S0, а в момент исполнения опционов необходимо будет выплатить сумму X, современная ценность которой составляет X/(1 + i/n)[nT]. Таким образом, будет получен выигрыш по сравнению с безрисковыми вложениями в банковский счет, что противоречит предположению о рациональности стоимости опционов. Аналогично, если PT – CT + S0 будет меньше, чем X/(1 + i/n)[nT], то для получения безрисковой прибыли можно использовать следующую торговую стратегию: купить акцию, купить опцион продавца на нее и продать опцион покупателя. Тогда в начальный момент времени будет выплачена сумма PT – CT + S0, а в момент исполнения опционов — получена сумма X, современная ценность которой составляет X/(1 + i/n)[nT], т. е. данная стратегия принесет выигрыш по сравнению с безрисковыми вложениями в банковский счет, что противоречит предположению о рациональной стоимости опционов. Полученные противоречия доказывают теорему.

Отметим, что соотношение паритета (7.3.5) справедливо т о л ь к о д л я е в р о п е й с к и х о п ц и о н о в.

229