Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новокузнецкий институт (филиал КемГУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Семестровая 1 (Методы оптимальных решений) / Методы оптимальных решений учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

1245

Добавлен:

19.04.2015

Размер:

6.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3719 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

A	B
1	x1 =

2	x2	=
3	f (x1, x2)	= =–((B1–8)^2+(B2–8)^2)
4	φ1(x1, x2)	= =3*B1+B2
5	φ2(x1, x2)	= =B1+B2
6	b1	=	15
7	b2	=	10

а) формулы Microsoft Excel

1x1 =

2	x2 =
3	f (x1, x2) =	0
4	φ1(x1, x2) =	0
5	φ2(x1, x2) =	0
6	b1 =	15
7	b2 =	10

б) результат ввода формул

Рис. 5.6.2. Исходные данные для решения задачи выпуклого программирования с помощью надстройки «Поиск решения»

Рис. 5.6.3. Ввод данных в надстройку «Поиск решения»

Результаты работы надстройки «Поиск решения» представлены на рис. 5.6.4 — замечаем, что найдено точное решение. Кроме оптимальных значений переменных и максимального значения целевой функции, надстройка «Поиск решения» позволяет получить также отчеты по результатам, устойчивости и пределам (рис. 5.6.5). Предлагаем студенту интерпретировать эти отчеты самостоятельно.

181

Microsoft Excel. Отчет о результатах

Результат: Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены. Модуль поиска решения

Модуль: Поиск решения нелинейных задач методом ОПГ Время решения: 0,01 секунд.

Число итераций: 3 Число подзадач: 0

Параметры поиска решения

Максимальное время Без пределов, Число итераций Без пределов, Precision 0,000001

Сходимость 0,0001, Размер совокупности 100, Случайное начальное значение 0, Центральные производные Максимальное число подзадач Без пределов, Максимальное число целочисленных решений Без пределов, Целочисленное отклонение 1%, Считать неотрицательными

Ячейка целевой функции (Максимум)

Ячейка

Имя

Исходное значение

Окончательное значение

$B$3

f(x1, x2) =

–128

–28,9

Ячейки переменных

Ячейка

Имя

Исходное значение

Окончательное значение

Целочисленное

$B$1

x1 =

2,9

Продолжить

$B$2

x2 =

6,3

Продолжить

Ограничения

Ячейка

Имя

Значение ячейки

Формула

Состояние

Допуск

$B$4

φ1(x1, x2) =

$B$4<=$B$6

Привязка

$B$5

φ1(x1, x2) =

9,2

$B$5<=$B$7

Без привязки

0,8

б) отчет о результатах

Microsoft Excel. Отчет об устойчивости

Ячейки переменных

Окончательное

Приведенный

Ячейка

Имя

значение

градиент

$B$1

x1 =

2,9

$B$2

x2 =

6,3

Ограничения

Окончательное

Лагранжа

Ячейка

Имя

значение

множитель

$B$4

φ1(x1, x2) =

3,4

$B$5

φ1(x1, x2) =

9,2

в) отчет об устойчивости

Microsoft Excel. Отчет о пределах

Целевая функция

Ячейка

Имя

Значение

$B$3

f(x1, x2) =

–28,9

Переменная

Нижний

Целевая функция

Верхний Целевая функция

Ячейка

Имя

Значение

предел

Результат

предел

Результат

$B$1

x1 =

2,9

–66,89

2,9

–28,9

$B$2

x2 =

6,3

–90,01

6,3

–28,9

г) отчет о пределах

Рис. 5.6.5. Отчеты о результатах, устойчивости и пределах, полученные с помощью надстройки «Поиск решения»

182

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1.Решите данные задачи выпуклого программирования графическим методом, а также путем использования условий Каруша — Куна — Таккера:

	−(x − 4)2	−	(x	+ 16)2 → max,	x2	+ x2 → min,
	−(x − 4)2	−	(x	+ 16)2 → max,	1	2
	1		2		x1 + x2 5,
	2x1		+ 3x2 12,		x1 + x2 5,
а)	2x1		+ 3x2 12,		x1x2		4,
а)		x1	+	б)	x1x2		4,
		x1	+	x2 1,			7,
	x1 0, x2 0;				0 x1		7,
	x1 0, x2 0;				0 x		6.
					0 x		6.
						2

2.Решите данные задачи выпуклого программирования графическим методом, а затем проведите три первые итерации метода возможных направлений:

−(x	− 6)2	− (x	− 2)2 → max,	x x		→ min,
1		2		1	2
	x1 + 2x2 8,			x1 + 2x2 2,
а)		1	2	1		2
а)	3x +		x 15,	б) x	+ x 6,
		x + x 1,		2x + x 10,
		1	2		1	2
	x1 0, x2 0;			x1 0, x2 0.

3.Решите данные задачи выпуклого программирования графическим методом, а затем сделайте три первых шага метода условного градиента:

	−(x − 4)2 − (x −1)2			→ max,	3x + x		→ min,
	1		2		1	2
а)		x + x 1,			x x		2,
		1	2		б) 1	2
	2x1		+ 3x2 12,		x12 + x22 16,
	x1 0, x2 0;				x1 0, x2 0.

4.Решите данные задачи выпуклого программирования с помощью метода штрафных функций:

x2		+ 2x2		+ 2x − 4x						+ 3 → min,
а)	1		2				1		2
		(x − 3)2 + x2						− 1 0;
			1				2
		−x2	− x2		+ 6x − 9 → max,
б)		1		2			1
б)		x	2	+ (x			− 1)2		− 1 0;
		x	2	+ (x		2	− 1)2		− 1 0;
		1				2
2x2		+ x2 − 12x − 4x								+ 22 → min,
в)	1	2				1		2
в)		(x − 2)2			+ (x − 3)2 −1 0.
		(x − 2)2			+ (x − 3)2 −1 0.
		1					2

183

ГЛАВА 6. ОПТИМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ

ВЗАДАЧАХ ИЗУЧЕНИЯ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГОСПРОСА

§6.1. БЮДЖЕТНОЕ МНОЖЕСТВО И ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ

Рассмотрим рынок, на котором продаются товары n видов. Пусть p1, p2, …, pn — цены этих товаров, вектор

p = ( p1 p2 pn )

естественно назвать вектором цен.

Пусть некоторый потребитель обладает богатством I ден. ед., и xi — это количество единиц i-го товара, которые данный потребитель приобретает на рынке (i = 1, 2, …, n). Вектор

x1
x		Rn	,
x =	2	Rn	,
		+

xn

координаты которого неотрицательны и соответствуют приобретаемым количествам товаров каждого вида, называется набором товаров, а множество всех наборов товаров

		x1
		x2
	n
	C = R+ = x =



		xn



x1 0, x2	0, …, xn
x1 0, x2	0, …, xn	0

называется пространством товаров (поскольку на наборы товаров не налагается ограничений целочисленности, здесь предполагается, что можно приобрести произвольное — целое или дробное — количество любого товара, т. е. что все товары являются б е з г р а н и ч н о д е л и м ы м и).

Стоимость набора товаров x равна, очевидно,

184

x C, p2, …,

px = p1x1 + p2 x2 + + pn xn .

Бюджетное множество B — это множество наборов товаров которые может себе позволить приобрести при данных ценах p1, pn потребитель, обладающий богатством I (при этом предполагается,

что тратить в с е деньги необязательно).

С алгебраической точки зрения бюджетное множество описывается системой линейных неравенств

p x + p x + + p x I ,		(6.1.1)
1 1 2 2	n n
x1 0, x2 0, …, xn 0,

поэтому, очевидно, бюджетное множество является выпуклым, ограниченным и замкнутым. Кроме того, очевидно, что если одновременно в k раз вырастают цены всех товаров и богатство потребителя, то бюджетное множество остается прежним:

kp x + kp x + + kp x				kI ,	p x + p x + + p x I ,
	1 1	2 2	n n		1 1 2 2	n n
x1	0, x2 0, …, xn			0	x1 0, x2 0, …, xn 0.
ПРИМЕР 6.1.1. В			пространстве		трех товаров известен вектор цен
p = (2 5	6) ,	богатство потребителя I = 30 ден. ед.				Требуется описать

бюджетное множество с помощью системы неравенств и изобразить его графически.

Решение. В соответствии с (3.1.1) бюджетное множество имеет вид

	x1		+ 5x
	x1
	2	1		2	3	30,	1	0,	x	2	0,	3
B = x = x		2x			+ 6x	30,	x	0,	x		0,	x	0

	x3
	x3

и представляет собой трехгранную пирамиду, одна вершина которой находится в начале координат, а три другие — соответственно в точках I/p1 =

= 30/2 = 15, I/p2 = 30/5 = 6 и I/p3 = 30/6 = 5 на осях Ox1, Ox2, и Ox3 (рис. 6.1.1).

I/p2

	x1
0	I/p1

x3 I/p3

Рис. 6.1.1. Бюджетное множество

185

§ 6.2. ПРЕДПОЧТЕНИЯ ПОТРЕБИТЕЛЯ И ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ

Потребитель р а з л и ч а е т наборы товаров: один набор товаров он может считать для себя б о л е е п р е д п о ч т и т е л ь н ы м, чем другой, два каких-то других набора товаров он может считать р а в н о ц е н н ы - м и. Запись X Y означает, что потребитель считает набор товаров x н е

ху ж е набора товаров y.

Вкачестве первой аксиомы потребителя примем, что относительно любых двух наборов товаров x, y C потребитель может однозначно

сказать, верно ли, что x y . Тем самым, на пространстве товаров задано о т н о ш е н и е с л а б о г о п р е д п о ч т е н и я « ». Слабое предпочтение определяет еще два отношения на пространстве товаров:

∙	о т н о ш е н и е р а в н о ц е н н о с т и « »: x y тогда и только то-
	гда, когда одновременно верно, что x y и y x ; запись « x y »
	означает р а в н о ц е н н о с т ь наборов товаров x и y с точки зрения
∙	данного потребителя: x не хуже y, а y не хуже x;
∙	о т н о ш е н и е с и л ь н о г о п р е д п о ч т е н и я « »: x y тогда
	и только тогда, когда верно, что x y , и неверно, что x y ; запись «
	x y » означает, что набор товаров x с точки зрения данного потре-
	бителя с т р о г о л у ч ш е набора товаров y: x не хуже y, но при
	этом x и y не равноценны.
	Вторая аксиома потребителя описывает свойства отношений «

», « » и « »:

∙отношения слабого предпочтения и равноценности являются ре-

флексивными (т. е. для любого набора товаров x C верно, что x x

и x x );

∙отношения слабого предпочтения, равноценности и сильного пред-

почтения являются транзитивными (т. е. для любых наборов товаров x, y, z C из того, что x y , а y z , следует, что x z ; из того, что x y , а y z , следует, что x z ; из того, что x y , а y z , следует, что x z );

∙отношение равноценности является симметричным (т. е. из того, что x y , следует, что y x).

Третья аксиома потребителя говорит о том, что каждый товар яв-

ляется для потребителя желательным, т. е. если x y , то x y , а если x > y , то x y .

Рациональное поведение потребителя состоит в выборе наиболее предпочтительного, с его точки зрения, набора товаров из бюджетного множества. При постановке и решении задачи определения рационального поведения потребителя удобнее оценивать привлекательность различных наборов товаров не с помощью отношений предпочтения и равноценности, а с помощью функции полезности, которая ставит в соответствие каждому набору товаров x C некоторое число u(x) — п о л е з н о с т ь данного набора товаров — и удовлетворяет двум условиям:

∙ u(x) u(y) x y ;

∙u(x) = u(y) x y .

(Из этих условий следует, очевидно, что u(x) > u(y) x y .)

186

Если выбран некоторый набор товаров x C, то множество

Px ={y C | y x} называется множеством предпочтительности для x, а

множество Nx ={z C | x z} называется множеством непредпочтитель-

ности для данного набора товаров. Система предпочтений называется непрерывной, если для любого набора товаров x C множества предпочтительности и непредпочтительности являются з а м к н у т ы м и.

ТЕОРЕМА ДЕБРЕ. Если система предпочтений потребителя непрерывна, то для такого потребителя существует непрерывная функция полезности.

Будем считать функцию полезности д и ф ф е р е н ц и р у е м о й, при этом частная производная ∂u / ∂xi имеет смысл предельной полезности i-го товара: она показывает, насколько увеличится полезность, если добавить к данному набору товаров x е щ е одну единицу i-го товара.

∙	Перечислим основные свойства функции полезности:
	функция полезности о п р е д е л я е т с я н е о д н о з н а ч н о (если
	u(x) —	некоторая	функция	полезности, то, например,
	u1 (x) = u(x) + a , u2 (x) =bu(x) [при b > 0], u3 (x) = logc u(x) [при c > 1]
	и любая другая строго возрастающая функция от u(x) также будут
∙	функциями полезности);
	функция полезности является с т р о г о в о з р а с т а ю щ е й [акси-
	ома желательности утверждает, что из того, что x > y , следует, что
	x y ; по	определению	функции	полезности x y u(x) > u(y) ,

значит, если x > y , то u(x) > u(y) ];

∙предельные полезности товаров положительны (поскольку функция полезности является строго возрастающей и дифференцируемой, то

∂u / ∂xi > 0);

∙небольшой прирост блага при его первоначальном отсутствии резко увеличивает полезность (или, иначе, предельная полезность первой единицы товара бесконечна):

lim ∂u = +∞;

xi →0 ∂xi

∙по мере увеличения потребления товара его предельная полезность уменьшается (первый закон Госсена):

∂2u < 0 ; ∂xi2

∙при очень большом объеме потребления товара его дальнейшее увеличение не приводит к росту полезности:

lim ∂u = 0.

xi →+∞ ∂xi

187

На практике используются следующие конкретные функции по-

лезности:

∙мультипликативная:

u(x) = u( x1, x2 , …, xn ) = x1α1 x2α2 xnαn ,

где α1, α2 , …, αn > 0, α1 +α2 + +αn <1;

∙логарифмическая:

u(x) = u(x1, x2 , …, xn ) = ∑ai logd xi ,

i=1

где a1, a2 , …, an > 0 , d >1;
∙	квадратичная:
	n	n	n
	u(x) = u(x1, x2 , …, xn ) = ∑ai xi	+ ∑∑bij xi x j ,
	i=1	i=1	j=1

где матрица B = (bij ) должна быть отрицательно определенной;

∙пропорциональная:

u(x) = u(x1

, x2 , …, xn ) = min

, …,

где k1, k2 ,…, kn > 0

и др.

ПРИМЕР 6.2.1. Требуется убедиться в справедливости первого зако-

на Госсена для мультипликативной функции полезности.

Решение. Имеем:

u(x) = u(x , x , …, x ) = xα1 xα2

xαn

∂u

= α

xα1 xα2

xαi −1 xαn = α

u(x1, x2 , …, xn )

> 0,

∂xi

∂2u

= α

(α

−1)x

α1 xα2 xαi −2

xαn = −α

− α

)

u(x , x , …, x )

< 0,

∂x2

поскольку αi (0;1) .

Множество р а в н о ц е н н ы х с точки зрения данного потребителя наборов товаров называется поверхностью безразличия. Если u(x) — функция полезности данного потребителя, то поверхность безразличия — это множество наборов товаров, обладающих одинаковой полезностью:

{x C | u(x) = u0 = const}.

С геометрической точки зрения поверхность безразличия в пространстве n товаров представляет собой гиперповерхность (n – 1)- го порядка.

В дифференциальной форме условие u(x) = u0 = const записывается следующим образом:

188

n	∂u
du = ∑		dxk	= 0 .	(6.2.2)

k =1	∂x
	k

Г р а д и е н т функции полезности равен вектору предельных полезностей:

	∂u	∂x1
	∂u	∂x
grad u =		2	.

	∂u
	∂u	∂xn

Условие (6.2.2) означает, что градиент функции полезности перпендикулярен касательной к поверхности безразличия (рис. 6.2.2).

Из рис. 6.2.2 видно, что снижение полезности, вызванное уменьшением количества одного товара, можно, вообще говоря, к о м п е н с и р о - в а т ь увеличением количества другого товара. Рассмотрим некоторый набор товаров

x010x2

x0 = xi0x0jxn0

и предположим, что количество i-го товара изменилось на величину dxi, количество j-го товара изменилось на dxj, а все остальные товары остались в тех же количествах, что и раньше; новый набор товаров

			x0
			1
			x20
			x20


1	=	xi0	+ dxi
x	=			.

		x0j	+ dx j


			0
			xn

189

u(x1 , x2 )=u0 =const

gradu(x1 , x2 )

Рис. 6.2.2. Поверхность безразличия и градиент функции полезности

Чтобы старый и новый наборы товаров оказались на одной поверхности безразличия, необходимо выполнение условия (6.2.2). Учтем, что dxk = 0 при k ¹ i, k ¹ j , тогда получим, что

∂u

= 0 ,

∂xi

∂x j

откуда

dx j

= −

∂u / ∂x

Величина

r j = lim

x j

= −

dx j

∂u / ∂xi

→0, − x

∂u / ∂x

u ( x)=const

называется предельной нормой замены i-го товара j-м; она показывает, на сколько е д и н и ц должно увеличиться количество j-го товара, чтобы к о м п е н с и р о в а т ь потерю единицы i-го товара (т. е. чтобы полезность набора товаров не изменилась).

Часто бывает удобно иметь дело не с абсолютными величинами, а с о т н о с и т е л ь н ы м и. Эластичность замены i-го товара j-м ( eij ) показывает, на сколько п р о ц е н т о в должно увеличиться количество j-го товара, чтобы компенсировать уменьшение количества i-го товара на 1%:

e j = lim

x j

/ x j

= −

lim

x j

r j =

∂u / ∂xi

xi →0,

−

x / x

xi →0,

∂u / ∂x

u ( x)=const

j u ( x)=const

190

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3719 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Семестровая 1 (Методы оптимальных решений)

#
19.04.201553.55 Кб144(Методы оптимальных решений) Семестровая 1.docx
#
19.04.20156.01 Mб1245Методы оптимальных решений учебное пособие.pdf
#
19.04.2015177.31 Кб404Пример решения задачи симплекс методом..docx
#
19.04.201562.74 Кб72Пример решения ЗЛП графическим методом и анализ чувствительности модели.docx