Семестровая 1 (Методы оптимальных решений) / Методы оптимальных решений учебное пособие

x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0.

Процесс решения этой задачи двойственным симплексным методом иллюстрируется табл. 3.5.2.

Т а б л и ц а 3.5.1

В последней симплексной таблице видим решение исходной задачи: x1 =1 / 5, x2 =1.

§ 3.6. ЗАДАЧИ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Задачи математического программирования, в которых наряду с обычными ограничениями накладывается требование ц е л о ч и с л е н - н о с т и всех или некоторых компонент решения, изучает раздел математического программирования, который называется целочисленным про-

граммированием.

С принципиальной точки зрения задача целочисленного программирования достаточно проста: для ее решения достаточно пронумеровать все целочисленные элементы множества допустимых решений и затем последовательно вычислять значения целевой функции в этих точках, запоминая на каждом шаге тот из уже проверенных элементов, для которого значение целевой функции было наибольшим (или наименьшим). Однако

112

часто, особенно в экономических задачах, такая процедура практически нереализуема из-за очень большого или бесконечного числа элементов множества допустимых решений. Другой подход к решению этой задачи позволяет отбрасывать не отдельные точки, а достаточно большие подмножества заведомо неоптимальных элементов множества допустимых решений. Эта идея положена в основу алгоритмов, которые принято отно-

сить к методу ветвей и границ.

Рассмотрим применение метода ветвей и границ к решению следующей задачи целочисленного линейного программирования:

Суть метода ветвей и границ заключается в том, что оптимальное решение задачи (3.1.1) будет удовлетворять также одному и только одному из условий:

н и е, т. е. разбить исходную задачу (3.6.1) на две другие задачи с дополнительными ограничениями соответственно вида (3.6.2) и (3.6.3) для какогото l (от 1 до k) и решить каждую из них как обычную (непрерывную) задачу линейного программирования, игнорируя требование целочисленности. Этот процесс повторяется для различных l и zl.

Выбор zl можно осуществить следующим образом: если оптимальное решение задачи

113

удовлетворяет условию целочисленности, то оно является и оптимальным решением задачи целочисленного программирования (3.6.1); в противном случае рассматривается одна из переменных xl [из числа тех, на которые

накладывается условие целочисленности, но которая в оптимальном решении

задачи (3.6.4) принимает дробное значение].

На основе полученного решения x обычной задачи (3.6.4) проводим ветвление, описываемое соотношениями вида (3.6.2), (3.6.3), — формируем две новые задачи (квадратными скобками обозначена целая часть числа):

Далее мы решаем эти задачи и проверяем их оптимальные решения на целочисленность. Если они не удовлетворяют требованию целочисленности, то на основе каждой задачи составляются две новые (аналогично рассмотренным выше). При этом обычно ветвление начинают с наиболее «перспективной» задачи — с лучшим значением целевой функции. Последовательность получаемых таким образом задач образует древовидную структуру, пример которой показан на рис. 3.6.1.

При этом ограничения каждой из двух новых задач, полученных в результате ветвления по очередной переменной, включают ограничения родительской задачи и новое ограничение на эту переменную. Процесс ветвления продолжается до тех пор, пока не выполнится один из следую-

щих критериев окончания ветвления.

1.Получена задача, не имеющая решения (это становится все более вероятным с увеличением числа ветвлений, когда все больше и больше ограничений вида (3.6.2) или (3.6.3) добавляется к уже существующим ограничениям, т. е. все более вероятной становится несовместность системы ограничений получаемых задач).

114

2.Получена задача с решением, удовлетворяющим условию целочислен-

ности, т. е. все xj (j = 1, 2, ..., k) имеют целочисленные значения. Тогда значение целевой функции данного решения сравнивается с верхним

(нижним при минимизации) р е к о р д о м pрек. Рекорд на первом шаге принимается равным pрек. = – ∞, если решается задача на максимум (и pрек. = +∞ при решении задачи минимизации). Если полученное значение хуже рекорда, то оно отбрасывается, а если лучше, то принимается за новый рекорд (при решении задач на максимум «лучше» означает «больше», а «хуже» — « меньше»; при решении задач на минимум все наоборот). Так как в каждой новой задаче добавляется все больше верхних и нижних целочисленных ограничений на переменные, то непрерывные переменные рано или поздно примут целочисленные значения (если, конечно, целочисленное решение вообще существует).

3.Получена задача с нецелочисленным решением, значение целевой функции на котором хуже рекорда (т. е. хуже, чем у наилучшего из числа найденных целочисленных решений). Добавление последующих ограничений посредством ветвления не поможет улучшить значение целевой функции, поэтому продолжать ветвление не имеет смысла.

После окончания процесса ветвления оптимальным является такое целочисленное решение, для которого значение целевой функции будет наилучшим, т. е. совпадет с рекордом.

Таким образом, для получения целочисленного решения методом ветвей и границ приходится решать большое количество обычных задач линейного программирования, причем в каждом очередном ветвлении число ограничений увеличивается на единицу.

Поэтому время решения задачи целочисленного программирования по сравнению с непрерывной задачей значительно увеличивается. При этом, вообще говоря, оптимальное целочисленное решение для некоторых задач может быть получено в результате сравнения в с е х допустимых целочисленных решений.

Пример практического применения метода ветвей и границ будет разобран в параграфе 4.2 при решении задачи о расшивке узких мест производства.

Рис. 3.6.1. Древовидная структура последовательности задач в методе ветвей и границ

115

§3.7. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

ВПАКЕТЕ MICROSOFT EXCEL

Пакет Microsoft Excel предоставляет средства для решения задач нелинейного программирования в надстройке «Поиск решения», работу с которой опишем в следующем примере.

ПРИМЕР 3.7.1. Требуется найти решение задачи линейного программирования (3.2.18)—(3.2.20) из примера 2.5.1 с помощью надстройки «Поиск решения» пакета Microsoft Excel.

Решение. Введем в рабочий лист Microsoft Excel формулы, как показано на рис. 3.7.1, а. Ячейки A2:E2 отведем под координаты вектора оптимального решения задачи в ячейки A5:E5 поместим коэффициенты целевой функции, в ячейки A8:E9 — элементы матрицы системы уравнений (3.2.19), а в ячейки I8:I9 — правые части. В ячейки G8:G9 введем формулы для вычисления левых частей уравнений, а в ячейку A12 — формулу для вычисления целевой функции (рис. 3.7.1, а, б).

Запустим надстройку «Поиск решения». Для этого на вкладке «Данные» нужно нажать кнопку «Поиск решения». (Если такая кнопка

на вкладке «Данные» отсутствует, нужно выбрать пункт меню «Файл | Параметры», в появившемся диалоговом окне «Параметры Excel» выбрать пункт «Надстройки», далее в выпадающем списке «Управление» выбрать элемент «Надстройки Excel», нажать кнопку «Перейти», и во вновь открывшемся диалоговом окне «Надстройки» отметить в качестве доступной надстройку «Поиск решения».)

В появившемся окне ввода данных (рис. 3.7.2) укажем ячейку $A$12, в которую введена целевая функция, отметим, что требуется искать м а к с и м у м этой функции, изменяя значения переменных x1, x2, x3, x4 и x5 (под которые отведены ячейки $A$2:$E$2) при наличии ограничений

Ax = b ($G$8:$G$9 <= $I$8:$I$9).

Отметим также пункт «Сделать переменные без ограничений неотрицательными» в соответствии с ограничениями неотрицательности (3.2.20).

В качестве метода решения выберем «Поиск решения линейных задач

симплекс-методом».

Результаты работы надстройки «Поиск решения» представлены на рис. 3.7.1, в — замечаем совпадение с результатами ручных вычислений в примере 3.2.1, где было получено оптимальное решение

x1 = 0, x2 = 0, x3 =17, x4 = 6, x5 = 0 .

Кроме оптимальных значений переменных и максимального значения целевой функции, надстройка «Поиск решения» позволяет получить также отчеты по результатам, устойчивости и пределам. Эти отчеты представлены на рис. 3.7.3. Предлагаем читателю самостоятельно их интерпретировать.

116

Microsoft Excel. Отчет о результатах

Результат: Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены. Модуль поиска решения

Модуль: Поиск решения линейных задач симплекс-методом Время решения: 0,01 секунд.

Число итераций: 3 Число подзадач: 0

Параметры поиска решения

Максимальное время Без пределов, Число итераций Без пределов, Точность 0,000001 Максимальное число подзадач Без пределов, Максимальное число целочисленных решений Без пределов, Целочисленное отклонение 1%, Считать неотрицательными

Ячейка целевой функции (Максимум)

г) отчет о пределах

Рис. 3.7.3. Отчеты о результатах, устойчивости и пределах, полученные с помощью надстройки «Поиск решения»

119

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1.Решите данные задачи линейного программирования: а) графическим методом; б) методом искусственного базиса:

2.Витамины А, В и С, которых требуется в день 6, 8 и 2 г соответ-

ственно, содержатся в двух видах продуктов. Цена первого продукта равна 50 руб./кг, цена второго продукта — 20 руб./кг., при этом в 1 кг первого продукта содержится 2 г витамина А, 4 г витамина В и 2 г витамина С; в 1 кг второго продукта содержится соответственно 2 и 3 г витаминов A и B (витамин C во втором продукте не содержится). Поставьте задачу составления пищевого рациона минимальной стоимости и решите эту задачу: а) графическим методом; б) методом искусственного базиса; в) двойственным симплексным методом.

3.Решите данные задачи линейного программирования симплексным методом:

x1 0, x2 0, …, x6 0.

120