Семестровая 1 (Методы оптимальных решений) / Методы оптимальных решений учебное пособие

ГЛАВА 11. МОДЕЛИРОВАНИЕПОВЕДЕНИЯ ФИРМ НА КОНКУРЕНТНЫХРЫНКАХ

§ 11.1. МОДЕЛЬПОВЕДЕНИЯДВУХ ПРОИЗВОДИТЕЛЕЙ НА РЫНКЕ ОДНОГОТОВАРА

Рассмотрим, как применяются непрерывные игры с ненулевой суммой к изучению конкуренции фирм на рынках. Случай, когда на рынке действует большое число участников, называется конкуренцией; если число участников рынка велико, но конечно, то конкуренция носит название несовершенной, если же число участников стремится к бесконечности, конкуренция называется совершенной. Случай, когда число фирм на рынке малó, называется олигополией. Вначале рассмотрим простейший вид олигополии — дуополию, когда продавцов на рынке всего двое.

Пусть на рынке есть два продавца, предлагающих один и тот же товар. Если x1 и x2 — объемы продукции, выпущенные соответственно первой фирмой и второй, то рыночная цена товара p, очевидно, зависит от суммарного предложения:

p = p(x1 + x2).

Предположим для простоты, что эта зависимость линейна:

p(x1 + x2) = a – b(x1 + x2),

где a > 0, b > 0.

Для упрощения выкладок будем считать также, что издержки фирм описываются одинаковыми линейными функциями от объемов их выпуска:

Предположение одинаковых функций издержек означает, что оба конкурента используют идентичные технологии.

Прибыль i-й фирмы ( Πi ) зависит от объемов выпуска обоих конкурентов:

311

Πi (x1, x2 ) = p(x1 + x2 )xi − Ci (xi ) = (a − b(x1 + x2 )) xi − cxi − d = = (a − c − b(x1 + x2 )) xi − d , i = 1, 2.

Перепишем эту формулу в виде

ного выпуска фирм, при которой прибыль каждой фирмы отрицательна и равна постоянным издержкам, взятым с противоположным знаком, т. е. в случае, когда суммарное предложение товара на рынке равно x0 , выручка от продажи товара покрывает только переменные издержки.

Каждый из конкурентов стремится подобрать свой объем выпуска xi так, чтобы получить максимальную прибыль.

Исследуем, как первая фирма среагирует на известный объем выпуска второй фирмы. Прибыль первой фирмы по формуле (11.1.1) равна

В общем случае первая фирма считает объем выпуска конкурента x2 зависящим от x1. Подставим x2 = x2(x1) в формулу (11.1.2):

Π1 (x1 ) = b ( x0 − ( x1 + x2 ( x1 ))) x1 − d

инайдем x1 из условия максимума функции Π1 (x1 ) :

Формула

dx1

312

определяет реакцию первой фирмы на известный объем выпуска второй фирмы (не обязательно постоянный). Аналогично можно определить реак- цию второй фирмы на действия первой:

вариация, т. е. предполагаемое (j-й фирмой) изменение выпуска i-й фирмы, связанное с увеличением выпуска конкурента на единицу.

§ 11.2. СТРАТЕГИИПОВЕДЕНИЯДУОПОЛИСТОВ

Предположим, что каждая из фирм точно знает объем выпуска своего конкурента и считает его неизменным. Тогда в формулах (7.1.3)—(7.1.4)

dx1 = dx2 = 0 , dx2 dx1

поэтому функция реакции первой фирмы на известный п о с т о я н н ы й объем выпуска второй фирмы определяется формулой

Аналогично можно определить реакцию второй фирмы на действия первой при условии, что вторая фирма считает объем выпуска первой фирмы постоянным:

фирм совпадают, и рассмотрим несколько таких производственных циклов, идущих один за другим. Пусть в первом производственном цикле объемы выпуска фирм были равны соответственно x1(1) и x2 (1) , и фирмы определяют свои выпуски в каждом следующем производственном цикле по формулам (11.2.1)—(11.2.2), считая, что объем выпуска конкурента будет таким же, как в предыдущем цикле.

Суммарный выпуск товара двумя фирмами в точке Курно равен

x1К + x2К = x0 + x0 = 2 x0 , 3 3 3

313

цена товара в этой точке

прибыль первой фирмы

Π1К = Π1 (x1К , x2К )= b(x0 −(x1К + x2К ))x1К − d =

аналогично вычисляется прибыль второй фирмы:

ΠК2 = Π2 (x1К, x2К )= 1 b(x0 )2 − d .

9

Предположим, что первая фирма н а м е р е н н о сообщит конкуренту объем своего выпуска x1, а конкурент, зная объем выпуска первой фирмы, выберет свой объем выпуска по формуле (11.2.2) — т. е. считая объем выпуска первой фирмы постоянным.

x2

Реакция первой фирмы на действия второй:

Равновесие Курно

Реакция второй фирмы на действия первой:

0

Рис. 11.2.1. «Нащупывание» дуополистами равновесия Курно

314

Тогда прибыль первой фирмы составит

Π1 (x1, x2 (x1 )) = b(x0 −(x1 + x2 (x1 )))x1 − d =

Но прежде, чем сообщать конкуренту свой объем выпуска, первая фирма может подобрать x1 так, чтобы ее прибыль Π1 (x1, x2 (x1 )) была наибольшей. Запишем условия максимума функции Π1 (x1, x2 (x1 )):

Такая стратегия поведения первой фирмы называется стратегией Штакельберга.

Если вторая фирма действительно будет действовать так, как ожидает первая [т. е. выберет в соответствии с формулой (11.2.2) объем выпуска

который обеспечит ей получение наибольшей возможной прибыли при условии, что предложение конкурента составляет x1РШ ], то такая ситуация называется равновесием Штакельберга.

В равновесии Штакельберга суммарный объем выпуска двух фирм

равен

x1РШ + x2РШ = x0 + x0 = 3 x0 > x1К + x2К ,

2 4 4

цена

первая фирма получает прибыль

Π1РШ = Π1 (x1РШ , x2РШ )= b (x0 −(x1РШ + x2РШ ))x1РШ − d =

а прибыль второй фирмы в равновесии Штакельберга равна

315

ΠРШ2 = Π2 ( x1РШ , x2РШ ) = b ( x0 − ( x1РШ + x2РШ )) x2РШ − d =

В точке равновесия Штакельберга прибыль второй фирмы существенно меньше, чем в равновесии Курно, поэтому вторая фирма может и не захотеть «идти на поводу» у первой и получать такую маленькую прибыль: второй дуополист сам может выбрать свой выпуск согласно стратегии Штакельберга. Ситуация, когда о б а п р о и з в о д и т е л я действуют согласно стратегии Штакельберга, называется неравновесием Штакельберга.

Если первая фирма считает, что конкурент, зная объем выпуска первой фирмы, выберет свой объем выпуска по формуле (11.2.2):

[Естественно, решением системы, состоящей из уравнений (11.2.2) и (11.2.5), является точка равновесия Штакельберга, определяемая формулами (11.2.3)—(11.2.4) ; предлагаем читателю самостоятельно убедиться в этом.]

В н е р а в н о в е с и и Ш т а к е л ь б е р г а вторая фирма выбирает свой объем выпуска не по формуле (11.2.2), а по формуле

аналогичной (11.2.5).

Точка неравновесия Штакельберга определяется из системы линейных уравнений (11.2.5) и (11.2.6). Найдем решение этой системы:

316

Суммарный объем выпуска в неравновесии Штакельберга

x1НШ + x2НШ = 2x0 + 2x0 = 4 x0 > x1РШ + x2РШ , 5 5 5

цена

а прибыли фирм равны

Π1НШ = Π1 (x1НШ , x2НШ ) = b(x0 − (x1НШ + x2НШ )) x1НШ − d =

и

ΠНШ2 = Π2 ( x1НШ, x2НШ ) = 2 b( x0 )2 − d .

25

Если два конкурента объединятся в единую фирму, то такая объединенная фирма образует на данном рынке м о н о п о л и ю. Если x — это выпуск монополии, то цена товара будет равна

p(x) = a – bx,

и поскольку издержки описываются функцией

C(x) = cx + d ,

то прибыль монополии будет вычисляться как

Оптимальный объем выпуска монополии определяется из условия максимума прибыли:

317

При таком предложении товара (которое меньше суммарного предложения в равновесии Курно) цена будет равна

p ( xМ ) = a − bxМ = a − 1 bx0 > pК , 2

а прибыль монополии окажется равной

Антимонопольное законодательство может запрещать образование монополий в тех случаях, когда это невыгодно рядовым потребителям. В таких случаях фирмы могут образовать картель, т. е. вступить в тайный сговор, согласовав свои объемы выпуска, чтобы получать наибольшую прибыль.

В этом случае фирмы могут договориться максимизировать свою совместную прибыль

Π1+2 (x1, x2 ) = Π1 (x1, x2 ) + Π2 (x1, x2 ) =

=b( x0 − (x1 + x2 )) x1 − d + b( x0 − (x1 + x2 )) x2 − d =

=b( x0 − (x1 + x2 ))(x1 + x2 ) − 2d ,

азатем делить ее в определенных пропорциях.

Запишем условия максимума совместной прибыли:

Таким образом, максимум совместной прибыли достигается на любой точке отрезка прямой, определяемой уравнением

318

Рассмотрим теперь задачу максимизации совместной прибыли с другого ракурса.

Изопрофúтой i-й фирмы называется линия, на которой прибыль этой фирмы постоянна (т. е. л и н и я у р о в н я прибыли i-й фирмы).

Уравнение изопрофиты первой фирмы имеет вид

Π1 ( x1 , x2 ) = π10 = const

или

b(x0 − (x1 + x2 ))x1 − d = π10 .

Вначале рассмотрим случай π10 = −d :

Π1 (x1, x2 ) = −d b(x0 − (x1 + x2 ))x1 = 0 ,

откуда

Изобразим несколько изопрофит первой фирмы, рассчитанных по формуле (11.2.7) при различных значениях прибыли π10 , на рис. 11.2.2.

Аналогичным образом можно составить уравнение изопрофиты второй фирмы

Π2 (x1, x2 ) = b(x0 − (x1 + x2 ))x2 − d = π02 = const ,

и изобразить на рис. 11.2.2 несколько изопрофит второй фирмы, рассчитанных по формуле (11.2.8) при различных значениях прибыли π02 .

319