§ 26. Стационарное состояние различных систем

Задача Штурма-Лиувилля для оператора : (*)

Волновое уравнение: (**)

Как только поставили в соответствие системе оператор , то можем решать волновое уравнение, находим , которая определяет состояние системы. Задача Штурма-Лиувилля дает собственные значения и собственные функции оператора .

Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля и функции, являющиеся решением волнового уравнения совпадают при условии выполнения:

, тогда . Это условие совместности решений (*) и (**).

Так как , то гамильтониан системы явно от времени не зависит, т. е. поле стационарно (задача стационарна) – это говорит о совместности решений (*) и (**).

Рассмотрим стационарную задачу , тогдане зависит от времени. Это либо:

1. Замкнутая система.

2. Система в стационарном внешнем поле.

Использую (*) и (**), получим

Это дифференциальное уравнение имеет решение

Подставим эту функцию в (*), тогда

.

Тогда получим

Получили стационарное уравнение Шредингера.

§ 27. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки

Для свободной материальной точки .

, тогда переходим к стационарному уравнению Шредингера.

Это трехмерная задача

Оператор Лапласа

Оператор представим в виде суммы трех независимых операторов, которые коммутируют. В этом случае можно разделить переменные.

Тогда стационарное уравнение Шредингера запишется в виде

,

где

Для имеем

.

Обозначим

.

Тогда

Решение этого уравнения

Так как частица свободная, то импульс этой частицы сохраняется. Значит сохраняется направление движения частицы.

Мы выбираем движение частицы по направлению оси x. Тогда в силу сохранения импульса имеем .

Для трехмерного случая

Полная волновая функция

(***)

Рассмотрим теперь коммутатор

Так как импульс коммутирует с и не зависит явно от времени, тогда. Из этого следует:

1. -интеграл движения.

2. Собственная функция оператора импульса является решением волнового уравнения.

Найдем собственные значения оператора импульса.

{используем, что , т. е.} =

=.

Тогда собственное значение оператора :

Это первое дебройлевское соотношение.

Из (***) вводится - второе дебройлевское соотношение.

Используем, что

Уравнение (***) удовлетворяет собственной функции оператора импульса.

§ 28. Интегральные операторы в квантовой механике.

Оператор в - представлении.

В общем случае

Здесь - ядро интегрального оператора в координатном представлении.

Задача Штурма-Лиувилля

Здесь иизменяются непрерывно.

Разложение функции по базису:

,

где

Тогда

и аналогично

Для того чтобы найти ядро интегрального оператора, разложим - функцию по базису собственных функций из задачи Штурма-Лиувилля.

={т. к. оператор от q , а интеграл по f, то ставим оператор под знак интеграла}{из задачи Штурма-Лиувилля}=.

Поменяем порядок интегрирования

Ядро интегрального оператора

Оператору поставили в соответствие ядро. Тогда можно записать действие оператора на любую функцию, решив задачу Штурма-Лиувилля.

Пусть есть эрмитов оператор

.

Тогда

А в силу равенства имеем

Найдем ядро оператора в координатном представлении. Действиев этом представлении сводится к умножению на.

Мы знаем, что по определению -функции:

Тогда Ядро оператора координат в координатном представлении

Ядро оператора в-представлении, тогда имеет вид