§ 44. Спиновая переменная волновой функции

Рассмотрим одну частицу – система с 3 степенями свободы. Задача решается в - представлении.

,

но есть еще внутренний параметр – спин, тогда

.

Здесь - переменная(пространственная координата) и(спиновая переменная, а именно проекция спина на ось).

Здесь мы рассматриваем стационарную задачу, поэтому отt не зависит.

Скалярное произведение теперь запишем в виде

Вероятность обнаружения частицы в объемевблизи точки:

Если хотим найти реализацию конкретного значения :

Рассмотрим действие операторов в пространстве четырех переменных

Было известно

(*)

Обобщим (*) на случай четырех переменных:

(**)

Рассмотрим случай когда действует только на спиновую переменную. В этом случае ядро будет следующим

и интеграл (**) переходит в интеграл:

Тогда

Переменная здесь не играет большой роли. В дальноейшем будем ее опускать, тогда

Функция имеет 2s+1 переменную.

Ядро в дискретных переменных вырождается в матрицу, т. е. это есть матрица размером .

§ 45. Матрицы Паули и их свойства.

Расмотрим электрон со спином . Тогда матрицы, которые будут представлять спиновыые моменты имеют размерность

.

Рассмотрим представление (или- представление). Рассмотрим в этом предмтавлении матрицуЭто оператор в матричном представлении.

Мы помним, что в матричном представлении ядро оператора имело вид

.

Тогда для нашего представления имеем:

Аналогично матрицы

,

,

.

и не диагональные матрицы, тогда эти величины содновременно не измеримы. По главной диагонали стоят собственные значения.

Вводятся матрицы . Это матрицы Паули.

Тогда

,

,

.

Легко показать, что

.

Или на языке операторов

А коммутаторы:

,

.

Тогда так как , то получим

При :

Тогда

При получаем

.

§ 46 Понятие о спинорах

Мы ввели . Эта функция имеет столько компонент, сколько значений принимает.

При . Эта функция имеет 2 компоненты.

Тогда

- у этой функции .

- у этой функции .

При исследовании поведения этих функций при операции вращения приходим к понятию спиноров.

- операция поворота. .

- это оператор . В матрице стоят параметры Кэли-Клейна.

- это спинор.

Выясняется, что при условии

при вращении сохраняется следующая комбинация волновых функций

Все волновые функции связанные со спинами описываются теорией спиноров.

§ 47. Уравнение Паули Мы писали волновое уравнение в виде

,

здесь

Для одной материальной точки :

1. Без магнитного поля .

2. Если есть магнитное поле, то .

В этих случаях спин не учтен.

С учетом спина модификацию уравнений сделал Паули.

Примечание: уравнения Шредингера и Паули нерелятивистские.

Запишем уравнение Паули:

.

Здесь изменился оператор кинетической энергии.

Без учета магнитного поля

,

где

Здесь

- матрицы паули

Тогда

.

Покажем, что при отсутствии поля, имеем

,

т. е.

Рассмотрим

={так как действует на спиновую переменную, ана пространственную, тоикоммутативны.}==

={рассмотрим сумму когда и когда}=={рассмотрим .

, т. к.

}=[

При :

Рассмотрим случай когда есть магнитное поле:

.

Тогда для оператора имеем

Тогда оператор кинетической энергии из оператора Паули:

Рассмотрим случай электрона e<0.

(магнетон Бора)

Тогда в итое получпем:

,

где оператор

Для оператора Паули тогда получим

,

Отсюда видно равенство для гиромагнитных соотношений

Видно, что магнитные моменты

,

,

механические моменты

Гиромагнитные соотношения

.

Полный магнитный момент