
- •Квантовая механика
- •§ 1. Экспериментальные основы квантовой механики
- •§ 2. Классическое и квантовое описание системы.
- •§ 3 Принцип неопределенности.
- •§ 4. Полный набор динамических переменных
- •§ 5. Постулаты квантовой механики.
- •§ 6 Роль классической механики в квантовой механике
- •§ 7 Волновая функция и ее свойства.
- •§ 8 Принцип суперпозиции состояний
- •§ 9 Понятие о теории представлений
- •§ 10 Операторы в квантовой механике
- •§ 12 Среднее значение измеряемой величины.
- •§ 13 Вероятность результатов измерения
- •§ 14 Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин
- •§ 15. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии.
- •§ 16. Решение задачи Штурма-Лиувилля для оператора .
- •§ 17 Решение задачи Штурма-Лиувилля для оператора .
- •§ 18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы .
- •§ 19 Волновое уравнение
- •§ 20 Производная оператора по времени
- •§ 21 Интегралы движения в кв. Механике.
- •§ 22. Свойства операторов вида
- •§23. Флуктуации физических величин.
- •§ 24. Неравенство Гайзенберга.
- •§ 25 Оператор Гамильтона различных систем.
- •§ 26. Стационарное состояние различных систем
- •§ 27. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •Для трехмерного случая
- •§ 28. Интегральные операторы в квантовой механике.
- •§ 29. Интегральный оператор канонического преобразования.
- •§ 30. Каноническое преобразование оператора.
- •§ 31. Уравнения Шредингера в матричной форме.
- •§ 32. Линейный гармонический осциллятор
- •Предельные технологические размеры кристаллов и.С. 0.1 – 0.5 мкм. Существует и предел по физической работоспособности. Однако с уменьшением размера кристалла увеличивается быстродействие приборов.
- •§ 30.1. Каноническое преобразование оператора. Ч. 2
- •§ 34. Унитарные инварианты в квантовой механике.
- •§ 35. Вид операторов ив декартовых и сферических координатах.
- •§ 36. Коммутационные соотношения с оператором .
- •§ 37. Собственные функции и собственные значения операторов и.
- •§ 38. Вырождение энергетических уровней частицы, движущейся в центральном поле.
- •§ 39. Гамильтониан частицы без спина, движущейся в магнитном поле.
- •§ 40. Снятие вырождения по квантовому числу m в случае частицы без спина, движущейся в магнитном поле. Используем
- •§ 41. Оператор бесконечно малого поворота без учета спина.
- •§ 42. Собственный механический момент (спин).
- •§ 43. Операторы ии их свойства.
- •§ 44. Спиновая переменная волновой функции
- •§ 45. Матрицы Паули и их свойства.
- •§ 46 Понятие о спинорах
- •§ 47. Уравнение Паули Мы писали волновое уравнение в виде
- •§ 48. Операторы и, и их свойства
- •§ 50. Принцип тождественности.
- •§ 51. Оператор перестановки и его свойства
- •§ 52. Симметричное и антисимметричное состояния.
- •§ 53. Обменное взаимодействие
- •§ 54. Основное состояние атома гелия
- •§ 55. Схема Юнга квантовой механики.
- •1. И ,
- •2. И .
- •§ 56. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: нулевое и первое приближения.
- •§ 58 Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: второе приближения.
- •§ 59. Критерий применимости теории возмущений.
- •§ 60. Стационарная теория возмущений в случае близких энергетических уровней.
- •§ 61. Метод (представление) Шредингера. Оператор эволюции и его свойства.
- •§ 62. Метод (представление) Гейзенберга. Уравнение движения для оператора.
- •§ 63. Уравнение эволюции среднего значения физической величины. Соотношение неопределенности: время – энергия.
- •§ 64. Матричное представление операторов.
- •§ 65. E – представление.
- •§ 66. Уравнение Шредингера в матричной форме.
- •§ 67. Матричная формулировка задачи о линейном гармоническом осцилляторе.
- •§ 68. Расчет матричных элементов операторов .
§ 12 Среднее значение измеряемой величины.
По определению
(1)
Рассмотрим
оператор
с дискретным спектром. Разложим
по
собственным функциям оператора
:
(2)
По
равенству Парсеваля
{в
силу линейности оператора заносим его
под знак суммы}
(3)
Подставляя (3) в числитель, а (2) в знаменатель для (1), тогда имеем
(4)
Из
теории вероятности
,
где
- вероятность получения
,
тогда
§ 13 Вероятность результатов измерения
- вероятность того, что при измерении
величины
для системы, находящейся в состоянии
мы получим результат
.
Если
система находится в состоянии
,
то величина
при измерении выходит с вероятностью
равной 1:
В
общем случае
.
Условие
при котором собственная функция оператора
описывает состояние системы:
Если
полная производная оператора
удовлетворяет
равенству
Для
непрерывного спектра, вероятность того,
что результаты измерения величины A
для системы, находящейся в состоянии
,
лежат в интервале
,
определяется следующим значением:
или
плотность вероятности
§ 14 Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин
Введем понятие коммутатора
Если
мы имеем
,
то предполагается, что на некоторую
функцию
сначала действует
,
а потом на все действует
.
Если
,
то операторы
и
коммутативны. Причем физические величины,
соответствующие этим операторам
одновременно измеримы. Или говорят, что
эти операторы имеют общий базис. То есть
все собственные функции этих операторов
можно выбрать общими.
Разложим
по базису:
.
Подействуем
на
коммутатором:
{Используем
то, что
образуют общий базис. }=
{Числа
с оператором коммутируют (т. к. операторы
эрмитовы)}
=
То есть, если физические величины одновременно измеримые, то их коммутатор равен нулю.
Обратное:
Если коммутатор обращается в ноль, то физические величины одновременно измеримы.
Пусть
собственная функция задачи Штурма-Лиувилля
.
Подставляем ее в коммутатор
Тогда
получим .
Мы рассматриваем невырожденный спектр.
Это значит, что существует однозначное
соответствие одно собственного значения
и одной собственной функции. Разница
между функциями
и
только до константы.
Пусть
эта константа ,
тогда
.
Но
,
тогда
.
Мы
получили, что функция
удовлетворяет задаче Штурма-Лиувилля
для оператора
.
Это
можно было показать для любой собственной
функции оператора
.
Тогда
из коммутативности операторов
и
следует общность базисов.
Величины
и
,
которым соответствуют коммутирующие
операторы могут быть одновременно
измеримы и следовательно могут
образовывать полный набор динамических
переменных.
Полный
набор динамических переменных полностью
задает состояние системы. Но операторы
и
должны
быть независимы.
§ 15. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии.
Будем
использовать координатное представление
(-представление).
Будем рассматривать систему из одной
материальной точки.
Действие
сводится
к умножению
на вектор
,
т. е.
(это определение действия оператора,
но не задача Штурма-Лиувилля).
Здесь строго соблюдается последовательность операторов при раскрытии векторного произведения, например, первая компонента:
,
однако для частного случая декартовых координат порядок операторов не существенен.
Оператор
энергии или Гамильтониан
.
,
здесь
-
оператор кинетической энергии,
- оператор потенциальной энергии.
Для одной материальной точки гамильтониан имеет вид:
Координата t – признак внешнего нестационарного поля.
Для
одной материальной точки:
.
Тут присутствует
и
,
но
и
одновременно не измеримы, тогда
потенциальная и кинетическая энергия
в квантовой механике не могут быть
одновременно измерены. В квантовой
механике существует понятие “энергия
частицы”, но порознь вводить энергию
нельзя, иначе либо
,
либо
оказываются
неизвестными.