§ 53. Обменное взаимодействие

Рассмотрим пару частиц взаимодействующих друг с другом по кулоновскому закону и находящихся во внешнем поле.

Пусть рассматриваются электроны:

Внешним полем электрона может служить поле ядра.

Одночастичный оператор

, i=1, 2.

Используем принцип Паули несколько в иной форме, чем мы рассматривали раньше. Для этого пусть добавка мала. Здесь спиновое число. Суммарный собственный механический момент:имеет квантовые числа.

Учтем влияние спнового момента на волновые функции. Это достигается принципом тождественности. Т. к. электроны – фермионы, то суммарная волновая функциядолжна быть антисимметричной по перестановке и т. к. в гамильтониане нет спиновой зависимости, то можно разделить переменные, итак:

Эта функция антисимметричная, так как описывает фермионы. Здесь два варианта:

- антисимметричная

- симметричная.

или

- симметричная

- антисимметричная.

Антисимметричная спиновая функция приводит к суммарному спину 0.

Симметричная воллновая функция приводит к суммарному спину 1.

Итак имеем 2 типа решения:

1. Спин , симметричная координатная функция по координатам

2. Спин S=1 , имеем антисимметричную функцию по координатам:

Но полная функция - антисимметричная.

Случай 1: S=0 – парагелий.

S=1 – ортогелий.

Функции и- явно от спина не зависят, но с учетомпринципа тождественности мы получили два типа решения.

, - это различные одночастичные состояния, они удовлетворяют одночастичному оператору:

Центральное поле.

У нас одночастичные , - это все одночастичные состояния.

Имеем задачу Штурма-Лиувилля.

Функции и- описывают невзаимодействующие частицы, т. е. они являются решением задачи с оператором:

,

где

, -одночастичные операторы.

Рассмотрим обменное взаимодействие . Т. к. иявляется решением задачи для невзаимодействующих частиц, т. е.

Здесь решение не зависит от симметричности функций, т. е. здесь .

Для полного оператора - решение зависит от симметрии функции, т. е. от спина системы: (0 или 1), здесь.

В первом приближении теории возмущений найдем энергетические уровни:

,

где матричный элемент оператора возмущения

,

здесь => .

В нашем случае индекс i складывается из индексов одночастичных состояний 1 и 2.

У нас

,

где K и A – это определенные выражения. Можно рассмотреть матричный элемент для симметричного состояния:

и можно рассмотреть матричный элемент для антисимметричного состояния

.

Это диагональные элементы, т. е. они берутся по одинаковым функциям, т. е. по и .

Подставим функции и в матричные элементы и и замечаем, что получим одинаковые слагаемые и различные слагаемые, которые соответственно обозначим:

,

где

(*)

, (**)

если учесть перестановку состояний ( а не координат), то имеем

(***)

В выражении (*), (**), (***) стоят координаты ,, а индексы при

обозначают состояния.

Тогда

.

Введем плотность заряда в точке 1 и в состоянии 1:

.

Аналогично для 2 точки и во втором состоянии:

,

тогда

.

Мы не можем привести интеграл к такому же виду. Интеграл- обменный интеграл. В нем

и - одно состояние размазано по двум точкам.

и - в одной точке имеется два состояния.

Итак

,

.