![](/user_photo/528_5NJmi.jpg)
- •Квантовая механика
- •§ 1. Экспериментальные основы квантовой механики
- •§ 2. Классическое и квантовое описание системы.
- •§ 3 Принцип неопределенности.
- •§ 4. Полный набор динамических переменных
- •§ 5. Постулаты квантовой механики.
- •§ 6 Роль классической механики в квантовой механике
- •§ 7 Волновая функция и ее свойства.
- •§ 8 Принцип суперпозиции состояний
- •§ 9 Понятие о теории представлений
- •§ 10 Операторы в квантовой механике
- •§ 12 Среднее значение измеряемой величины.
- •§ 13 Вероятность результатов измерения
- •§ 14 Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин
- •§ 15. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии.
- •§ 16. Решение задачи Штурма-Лиувилля для оператора .
- •§ 17 Решение задачи Штурма-Лиувилля для оператора .
- •§ 18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы .
- •§ 19 Волновое уравнение
- •§ 20 Производная оператора по времени
- •§ 21 Интегралы движения в кв. Механике.
- •§ 22. Свойства операторов вида
- •§23. Флуктуации физических величин.
- •§ 24. Неравенство Гайзенберга.
- •§ 25 Оператор Гамильтона различных систем.
- •§ 26. Стационарное состояние различных систем
- •§ 27. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •Для трехмерного случая
- •§ 28. Интегральные операторы в квантовой механике.
- •§ 29. Интегральный оператор канонического преобразования.
- •§ 30. Каноническое преобразование оператора.
- •§ 31. Уравнения Шредингера в матричной форме.
- •§ 32. Линейный гармонический осциллятор
- •Предельные технологические размеры кристаллов и.С. 0.1 – 0.5 мкм. Существует и предел по физической работоспособности. Однако с уменьшением размера кристалла увеличивается быстродействие приборов.
- •§ 30.1. Каноническое преобразование оператора. Ч. 2
- •§ 34. Унитарные инварианты в квантовой механике.
- •§ 35. Вид операторов ив декартовых и сферических координатах.
- •§ 36. Коммутационные соотношения с оператором .
- •§ 37. Собственные функции и собственные значения операторов и.
- •§ 38. Вырождение энергетических уровней частицы, движущейся в центральном поле.
- •§ 39. Гамильтониан частицы без спина, движущейся в магнитном поле.
- •§ 40. Снятие вырождения по квантовому числу m в случае частицы без спина, движущейся в магнитном поле. Используем
- •§ 41. Оператор бесконечно малого поворота без учета спина.
- •§ 42. Собственный механический момент (спин).
- •§ 43. Операторы ии их свойства.
- •§ 44. Спиновая переменная волновой функции
- •§ 45. Матрицы Паули и их свойства.
- •§ 46 Понятие о спинорах
- •§ 47. Уравнение Паули Мы писали волновое уравнение в виде
- •§ 48. Операторы и, и их свойства
- •§ 50. Принцип тождественности.
- •§ 51. Оператор перестановки и его свойства
- •§ 52. Симметричное и антисимметричное состояния.
- •§ 53. Обменное взаимодействие
- •§ 54. Основное состояние атома гелия
- •§ 55. Схема Юнга квантовой механики.
- •1. И ,
- •2. И .
- •§ 56. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: нулевое и первое приближения.
- •§ 58 Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: второе приближения.
- •§ 59. Критерий применимости теории возмущений.
- •§ 60. Стационарная теория возмущений в случае близких энергетических уровней.
- •§ 61. Метод (представление) Шредингера. Оператор эволюции и его свойства.
- •§ 62. Метод (представление) Гейзенберга. Уравнение движения для оператора.
- •§ 63. Уравнение эволюции среднего значения физической величины. Соотношение неопределенности: время – энергия.
- •§ 64. Матричное представление операторов.
- •§ 65. E – представление.
- •§ 66. Уравнение Шредингера в матричной форме.
- •§ 67. Матричная формулировка задачи о линейном гармоническом осцилляторе.
- •§ 68. Расчет матричных элементов операторов .
§ 16. Решение задачи Штурма-Лиувилля для оператора .
Оператор импульса – оператор с непрерывным спектром собственных значений.
(1)
Мы
рассматриваем координатное представление,
тогда
- функция координат.
Оператор
векторный, он имеет трикомпоненты:
Например:
(2)
Тогда
уравнение (1) разваливается на три
независимых члена, т.к. операторы
коммутируют.
Существует
утверждение, что если
можно представить в виде суммы
коммутирующих операторов:
,
,
то
задача Штурма-Лиувилля
распадается на подзадачи этих коммутаторов:
Для задачи (1) имеем:
,
где i принимает значения 1,2,3
Решим случай i=1, тогда
(3)
Подставляем
(2) в (3) и временно опустим индекс px
у
,
тогдаимеем
т.к.
- функция одной переменной,тогда
здесь
- число, собственное значение.
Запишем
тоже с индексами:
При
решении задачи получили, что p
имеет непрерывный спектр на всей числовой
оси. Т. е.
-
не квантуется.
Найдем
.
Используем условие ортонормированности.
В нашем случае:
,
Тогда:
(4)
.
.
Обозначим
.
.
Тогда
Интеграл
дает с точностью до множителя
- функцию, поскольку:
Используем
следующее свойство
-функции:
.
В нашем случае получим
,
тогда
(5)
Подставляем (5) в (4)
В связи с тем, что волновые функции в квантовой механике определены с точностью до фазового множителя, то
.
Фаза
точно не определена, и ее можно отнести
к самой волновой функции. Такая
неоднозначность принципиальна и не
может быть устранена, однако она
несущественна, так как не отражается
ни на каких физических величинах. Таким
обрахзом:
.
Мы получили
Теперь
запишем
(6)
Функция (6) удовлетворяет условию нормировки (4).
В
импульсном представлении:
§ 17 Решение задачи Штурма-Лиувилля для оператора .
Если
в классической механике рассматривать
,
то
.
Если полученному выражению поставить в соответствие оператор в квантовой механике, то он может быть записан в виде:
,
где
-
угол поворота вокруг оси
.
Задача
Штурма-Лиувилля для оператора
:
,
где
.
Решение
для
:
.
Мы
накладываем на функцию
условие периодичности, т. к. угол
меняется от
до
,
т. е.
.
Это ограничение приводит к виду собственной функции:
Поскольку
если
,
то
,
то получаем, что
,
гдеN
и M
целые числа. Отсюда
должно быть целым. Приравниваем
.
Отсюда получаемдля
.
-
целое безразмерное число.
Из
условия периодичности получили
квантованность проекции орбитального
момента на ось z.
Спектр собственных значений оператора
дискретный.
Так
как
целое число, то функция приобретает
индекс
.
Найдем
константу
:
Условие
нормировки
.
{при
интеграл дает 0, только при
интеграл не равен 0}
При
интеграл дает
Тогда
имеем для уравнения
собственную волновую функцию
Здесь получили дискретный спектр собственных значений и нормируемость собственной функции.
§ 18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы .
Для
оператора
:
Найдем
,
где
- есть функция
и
,
т.е.
- координатное представление.
Это равенство понимается в том смысле, что при действии коммутатора на любую функцию, равенство выполняется.
{распишем
это}
,
теперь
, (1)
т.к.
-
произвольная функция.
Аналогичный
результат для оператора
:
,
в импульсном представлении.
, (2)
здесь
.
Рассмотрим частные случаи формул (1) и (2):
, здесь
играет роль функции
.
, здесь
потенциальная энергия - функция координат и времени.
3a.
, здесь импульсное представление, таким образом
.
5a.
{для
одной материальной точки
}
-это
справедливо и в координатном и в
импульсном представлении. Для координатного
,
а для импульсного
.
-координатное представление.
-импульсное представление
Рассмотрим
соотношение для оператора
Используем дополнительное соотношение:
{используем
(1) и (2):
,
}
{
,
тогда второе слагаемое
}
=
{в
классической математике измерение
компонента вектора при бесконечно малом
повороте:
,
это
оотношение справедливо и в квантовой
теории поля:
}={
}={
,
.
В общем случае импульс и координата не
коммутируют, тогда функция координат
и импульсов и импульс, координата и
функция координат и импульсов не
коммутируют. Если f
– функция
скалярная, тогда она не меняется при
вращении. В этом случае, чтобы
,
тоf
– векторная функция.}
(где f
есть
компонента некоторой векторной величины,
т. е.
.
Тогда
перепишем
в виде
:
{меняем
местами индексы}
Тогда для любой векторной функции имеем:
Здесь
вместо
можно подставить, например,
-
коммутатор
с любым скаляром равен нулю.
Получим: