§ 40. Снятие вырождения по квантовому числу m в случае частицы без спина, движущейся в магнитном поле. Используем

,

где

Для имеем

С учетом магнитного поля, получим

Это решение получено в первом приближении теории возмущения.

Получилась зависимость энергетических уровней от квантового числа m, т. е. снимается выраждение по m.

§ 41. Оператор бесконечно малого поворота без учета спина.

Рассмотрим как меняется функция при вращении координат.

При бесконечно малом повороте координат на угол любой вектор, в том числе и получает приращение .

Тогда возникает изменение волновой функции

Учитывая малость запишем разложение в рядпо малому параметру.

Общее соотношение:

Оператор бесконечно малого поворота

Если рассматривать вращение вокруг оси z, то

.

Тогда

Если - собственная функция оператора, то для этой функции имеем

Если проинтегрировать по углу поворота, то

.

Вывод:

Оператор - обеспечивает операцию вращения в пространстве, он действует на координату.

§ 42. Собственный механический момент (спин).

Рассмотрим Na. У него есть желтая линия . Возникает при переходе с уровня 3p на 3s.

Первоначально ее длина была 5892

Было обнаружено, что эта линия расщепляется на две: дублет.

Возникла идея расщепления уровня 3p на два, тогда можно объяснить возникновение двух линий.

Их длины: 5896 и 5890.

В 1925 г. Была предложена гипотеза спина, т. е. собственного механического момента.

У электрона спиновое число s=.

Впоследствии Паули ввел спин в теорию.

Если имеем одну частицу, то она характеризуется орбитальным квантовым числом .

Состовная частица (атом) состоит из многих микрочастиц. Можно рассматривать эту составную частицу вцелом и приписать ей момент , который описывает орбитальное движение частицы как целого.

Энергетический уровень этой составной частицы в некоторых полях будет зависеть от орбитальных моментов микрочаститц .

Эти моменты являются внутренним свойством этой составной частицы.

Можно рассматривать 2 момента:

1. . Этот момент описывает внутреннее движение частицы (относительно центра инерции)

2. Частица сама движется по некоторой траектории.

У частицы есть еще квантовое число , характеризующее собственный механический момент.

Вводят оператор собственного механического момента:

По аналогии

Спин – внутреннее свойство частицы. Его смысл – у частицы есть внутренний параметр, который реагирует на вращение координат независимо от места положения частицы.

§ 43. Операторы ии их свойства.

Все проводится по аналогии с и.

обладает коммуникационными свойствами:

Так как и не коммутируют, то они ондновременно не измеримы.

Но .

Собственные значения оператора:

, .

Тогда здесь всего 2s+1 значение оператора.

Перейлем к классическому пределу:

Ввиду связи имеем,.

Ясно, что так как - параметр частицы, то он не меняется ни при каких условиях, тогда в классическом пределе:

, .

В классической механике этим величинам аналога нет и они обращаются в нуль.

В случае спина мы не можем наложить условие , т. к. спин – внутреннее свойство частицы. Тогдане всегда целое число.

Если - четное, то-полуцелое.

Если - нечетное, то-целое.

Отсюда деление на 2 типа частиц:

1. Фермионы – спин полуцелый

2. Бозоны – спин целый.