§ 63. Уравнение эволюции среднего значения физической величины. Соотношение неопределенности: время – энергия.

Рассмотрим случай , тогда

(1)

Среднее будем записывать без шляпки. Это будем понимать как

Ранее по соотношению неопределенности Гейзенберга было получено:

,

при условии, что

В общем же случае можно записать следующее соотношение:

(*)

Теперь рассмотрим (1). Для (1), как результата коммутации и, найдем соотношение неопределенности, отвечающее результату

Подставим это выражение в (*) и получим

(**)

Нормальное распределение в теории вероятностей:

Если найти , то

Раньше имели нормировку

,

а теперь еще нормировали саму амплитуду функции на единицу.

.

При

имеем

.

Введем величину с размерностью времени:

.

Это есть , деленная на скорость перемещения максимума кривой.

Тогда имеем

.

Если существует несколько величин , то берут наименьшее из возможных:.

- характерное время жизни данного состояния, тогда

,

соотношение неопределенности Гейзенберга для времени и энергии.

Если - интеграл движения, тои тогда, т.е. имеем уровень, который не размазан по энергетической шкале.

Если , то уровень размазан, имеется разброс энергий.

§ 64. Матричное представление операторов.

Рассмотрим оператор с дискретным спектром, запишем для него ЗШЛ:

(*)

Введем определение матричного элемента оператора:

Умножим левую и правую части (*) на , тогда

Выносим собственное значение за скалярное произведение

,

т.к. нормированы на единицу, то

Тогда ЗШЛ (*) переходит в следующую форму:

(**)

Решение ЗШЛ сводится к проблеме диагонализации матрицы. Решение ЗШЛ эквивалентно том, что мы матрицу сводим к диагональному виду.

Покажем как оператор действует на произвольную функцию:

{разлагаем по собственным функциям оператора}=

=.

Найдем коэффициенты .

Умножим последнее равенство на , тогда

.

(***)

Коэффициенты получаются в результате действия операторана коэффициенты

Спектр дискретный. Если в (***) подставим (**), то получим

,

т.е. мы находим векторы в которых матрица диагональна.

Если мы рассчитываем матричные элементы на собственных функциях другого оператора с которым он не коммутативен, то матрица не диагональная.

Если решается задача в - представлении, то матрица операторадиагональна. И решение задачи диагонализации матрицы – это поиск собственного представления.

Тогда произведение операторов можно записатькак произведение матриц:

.

Для непрерывного спектра рассмотрим тот же матричный подход. Но здесь матрицы не дискретные, а непрерывные, т.к. собственные значения – непрерывный спектр. Здесь понятие матрицы условное.

.

Приведение к диагональному виду:

.

§ 65. E – представление.

E – представление – это представление в котором матрица энергий диагональна. Так как оператор имеет дискретный спектр, то мы рассматриваем дискретный случай.

.

Здесь надо решить ЗШЛ в координатном представлении.

Матричный элемент

.

Матрица оператора :

.

Матрица энергий диагональна.

Мы говорим, что - функция - это функция полного набора динамических переменных и времени.

Если в качестве одной из переменных возьмем энергию, то останется переменная.

Рассмотрим

.

(*)

Часто пишут

,

хотя на самом деле

.

Будем опускать аргумент , записывая

,

где - номер значения энергии.

Каноническое преобразование (*) – это смена представлений: перешли от - представления к- представлению. Здесь уже роль волновой функции играют коэффициенты.

Соответственно этому преобразованию волновых функций преобразуются операторы:

.

То же на языке ядер, опустив

,

- это собственные функции оператора энергии в координатном представлении.

Можно записать:

,

т.к. спектр дискретный.

Тогда роль ядра оператора в- представлении играет матрица.

Таким образом мы переходим от ки отк.

Если рассматривать действие оператора “” на функцию “”, то имеем

Коэффициенты , т.е.определяются как:

,

где

- собственная функция оператора энергии,

- зависит от времени, т.е. .