§ 50. Принцип тождественности.

Этот принцип в квантовой механике определенным образом связан с принципом Гайзенберга.

Если рассмотрим ансамбль одинаковых частиц, то идентификация этих частиц невозможна.

Одинаковые частицы обладают всеми одинаковыми внутренними свойствами (m, e, s, …). Мы не можем в квантовой механике ввести траекторию, тогда не можем различить одинаковые частицы.

Например, в электронном газе не отдельные частицы, а целый ансамбль. В такой системе – тождественные частицы.

В ансамбле одинаковых частиц реализуются состояния, инвариантные относительно их перестановок.

Т. к. частицы идентифицировать невозможно, то мы не можем различить состояния, которые вызваны перестановкой частиц.

§ 51. Оператор перестановки и его свойства

Введем обозначение оператор, который осуществляет перестановкуa-ой и b-ой частицы из ансамбля одинаковых частиц.

Оператор для таких систем из одинаковых частиц обладает симметрией.

Так как частицы одинаковые, то они имеют одинаковую энергию взаимодействия, т. е. она инвариантна относительно перестановки.

Т. е. можно записать

(*)

Так как оператор явным образом от времени не зависит, то из (*) следует, что он является интегралом движения. Его собственные значения сохраняются.

Найдем собственные значения оператора .

Запишем задачу Штурма-Лиувилля:

(**)

При повторном действии оператора , получим:

(***)

С учетом (**):

Тогда из (***)

, .

Получаем частицы с симметричными и антисимметричными волновыми функциями: бозоны и фермионы.

Кроме того, оператор - это интеграл движения. Тогда его собственные значения сохраняются во времени. Т. е. свойства волновых функций, связанных с действием этого оператора тоже сохраняются.

Функции отвечающие собственному значению +1 называются симметричными, описывают симметричные состояния.

Аналогично

Это антисимметричная функция.

Свойства симметричности и антисимметричности называются интегралами движения, т. е. сохраняются. Ансамбль не может переходить из одного состояния в другое (т. е. из симметричного в антисимметричное и наоборот).

Симметричные функции описывают состояние систем с целым спином, т. е. ансамбль бозонов.

Антисимметричные функции – ансамбль фермионов.

Пусть

,

где

,

, .

Мы будем рассматривать стационарные состояния, т. е.

,

где

.

Стационарные функции удовлетворяют стационарному уравнению Шредингера

,

так как операторы икоммутируют, то

.

Мы имеем

Если всего N частиц, то можно осуществить N! перестановок, тогда имеем N! возможных функций .

Так как все удовлетворяют уравнению Шредингера при одной и тойже энергии , то мы получили вырождение. Оно носит фиктивный характер. Для того чтобы избавиться от этого вырождения проведем симметризацию функций.

§ 52. Симметричное и антисимметричное состояния.

Чтобы построить конкретные функции будем рассматривать ансамбль независимых частиц, т. е. они между собой не взаимодействуют, но могут находиться во внешнем поле.

Для i-ой частицы во внешнем поле:

Так как частицы одинаковые, то их массы одинаковые, т. е. .

Полный оператор

(*)

Для одинаковые аналитические выражения (закон один), но здесь разные координаты.

Когда оператор представим в виде (*), то можно провести разделение переменных

.

Тогда уравнение

разбивается на N одинаковых уравнений:

- волновая одночастичная функция.

- это набор квантовых чисел, характеризующих одночастичное состояние.

Тогда

(**)

- это все квантовые числа, относящиеся к рассматриваемому ансамблю.

Причем

,

где

.

Учтем действие оператора перестановки:

1. Рассмотрим симметричные состояния.

Однако из (**) при перестановке мы получаем другую функцию. Но в (**) функция еще не симметричная. Симметризуем ее:

Здесь сумма по всем нетождественным перестановкам частиц.

- постоянная нормировки

,

где

.

Рассмотрим случай двух частиц

Для данного случая

.

Так как бозоны могут находиться в неограниченном количестве в одном и том же состоянии, то здесь когда говорим о нетождественных состояниях, то имеем в виду, что эта перестановка приводит к новому состоянию.

Если перестановка происходит в одном и том же состоянии, то она тождественная и выбрасывается из рассмотрения. Для бозонов из N! перестановок тождественные перестановки. Тогда надо рассматриватьперестановок, гдеN всего бозонов, а в 1-ом состоянии находится N₁ частиц, во 2-ом N₂ частиц и тд.

Симметричные состояния допускают произвольное число частиц в одночастичном состоянии.

Тогда нормировочный множитель

2. Рассмотрим антисимметричные состояния

Здесь

(***)

Чтобы учесть знак вводят понятие парной (соседней, элементарной) перестановки.

Пусть надо переставить в ряде цифры 1 и 4. Учтем элементарные перестановки: 2134, 2314, и т. д.

Здесь 5 элементарных перестановок. .

Тогда в сумму (***) надо поставить .

Если i и j в одном состоянии, то ,=> .

Антисимметричные состояния запрещают нахождение более одной частицы в одночастичном состоянии.

В сумме (***) оператор это оператор не элементарной перестановки, а какой-то конкретной перестановки.

Итак получаем из (***) выражение

Рассмотрим пару частиц, тогда

Эта функция обладает свойством антисимметричности. Подействуем на нее оператором перестановки:

,

т. е.

- собственная функция оператора перестановки.

Здесь т. к. у фермионов в каждом одночастичном состоянии число частиц не превышает 1, т. е. 0 или 1.

В наиболее общем виде

.

Обобщим

Из этого вида вытекает принцип Паули: не более одного фермиона может находиться в одном квантовом состоянии.

Допустим две частицы в одном квантовом состоянии, тогда у них совпадают квантовые числа, т. е. . Тогда для детерминанта имеем 2 одинаковые строки, он равен нулю. Состояние не реализуется.