
- •Квантовая механика
- •§ 1. Экспериментальные основы квантовой механики
- •§ 2. Классическое и квантовое описание системы.
- •§ 3 Принцип неопределенности.
- •§ 4. Полный набор динамических переменных
- •§ 5. Постулаты квантовой механики.
- •§ 6 Роль классической механики в квантовой механике
- •§ 7 Волновая функция и ее свойства.
- •§ 8 Принцип суперпозиции состояний
- •§ 9 Понятие о теории представлений
- •§ 10 Операторы в квантовой механике
- •§ 12 Среднее значение измеряемой величины.
- •§ 13 Вероятность результатов измерения
- •§ 14 Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин
- •§ 15. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии.
- •§ 16. Решение задачи Штурма-Лиувилля для оператора .
- •§ 17 Решение задачи Штурма-Лиувилля для оператора .
- •§ 18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы .
- •§ 19 Волновое уравнение
- •§ 20 Производная оператора по времени
- •§ 21 Интегралы движения в кв. Механике.
- •§ 22. Свойства операторов вида
- •§23. Флуктуации физических величин.
- •§ 24. Неравенство Гайзенберга.
- •§ 25 Оператор Гамильтона различных систем.
- •§ 26. Стационарное состояние различных систем
- •§ 27. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •Для трехмерного случая
- •§ 28. Интегральные операторы в квантовой механике.
- •§ 29. Интегральный оператор канонического преобразования.
- •§ 30. Каноническое преобразование оператора.
- •§ 31. Уравнения Шредингера в матричной форме.
- •§ 32. Линейный гармонический осциллятор
- •Предельные технологические размеры кристаллов и.С. 0.1 – 0.5 мкм. Существует и предел по физической работоспособности. Однако с уменьшением размера кристалла увеличивается быстродействие приборов.
- •§ 30.1. Каноническое преобразование оператора. Ч. 2
- •§ 34. Унитарные инварианты в квантовой механике.
- •§ 35. Вид операторов ив декартовых и сферических координатах.
- •§ 36. Коммутационные соотношения с оператором .
- •§ 37. Собственные функции и собственные значения операторов и.
- •§ 38. Вырождение энергетических уровней частицы, движущейся в центральном поле.
- •§ 39. Гамильтониан частицы без спина, движущейся в магнитном поле.
- •§ 40. Снятие вырождения по квантовому числу m в случае частицы без спина, движущейся в магнитном поле. Используем
- •§ 41. Оператор бесконечно малого поворота без учета спина.
- •§ 42. Собственный механический момент (спин).
- •§ 43. Операторы ии их свойства.
- •§ 44. Спиновая переменная волновой функции
- •§ 45. Матрицы Паули и их свойства.
- •§ 46 Понятие о спинорах
- •§ 47. Уравнение Паули Мы писали волновое уравнение в виде
- •§ 48. Операторы и, и их свойства
- •§ 50. Принцип тождественности.
- •§ 51. Оператор перестановки и его свойства
- •§ 52. Симметричное и антисимметричное состояния.
- •§ 53. Обменное взаимодействие
- •§ 54. Основное состояние атома гелия
- •§ 55. Схема Юнга квантовой механики.
- •1. И ,
- •2. И .
- •§ 56. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: нулевое и первое приближения.
- •§ 58 Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: второе приближения.
- •§ 59. Критерий применимости теории возмущений.
- •§ 60. Стационарная теория возмущений в случае близких энергетических уровней.
- •§ 61. Метод (представление) Шредингера. Оператор эволюции и его свойства.
- •§ 62. Метод (представление) Гейзенберга. Уравнение движения для оператора.
- •§ 63. Уравнение эволюции среднего значения физической величины. Соотношение неопределенности: время – энергия.
- •§ 64. Матричное представление операторов.
- •§ 65. E – представление.
- •§ 66. Уравнение Шредингера в матричной форме.
- •§ 67. Матричная формулировка задачи о линейном гармоническом осцилляторе.
- •§ 68. Расчет матричных элементов операторов .
Предельные технологические размеры кристаллов и.С. 0.1 – 0.5 мкм. Существует и предел по физической работоспособности. Однако с уменьшением размера кристалла увеличивается быстродействие приборов.
Рассмотрим систему: проводящая поверхность к ней игла с трехмерным пьезоприводом
На
расстоянии
от поверхности возникает туннельный
ток.
Проницаемость потенциального барьера
На этой основе был создан туннельный микроскоп, который позволяет различать атомы на поверхности. Получили нановидение.
Возникли проблемы нанотехнологии – системы способов и приемов работы с частицами размеров порядка атомов и молекул.
Нанотехнология поставила проблему наноэлектроники.
§ 30.1. Каноническое преобразование оператора. Ч. 2
Используем все обозначения из § 30.
Рассмотрим
Теперь распишем
Тогда
получили
(1)
Аналогично
(2)
Итак каноническое преобразование имеет вид:
,
где
ядро канонического оператора
имеет вид:
,
обратное преобразование
,
где
ядро оператора
имеет вид:
.
Но было также установлено, что
,
тогда установили соответствие
Скалярные
произведения из (1) и (2) есть матричные
элементы оператора
для непрерывного спектра.
§ 34. Унитарные инварианты в квантовой механике.
Оператор
унитарный, если
.
Как пример унитарных операторов приведем:
- оператор канонического преобразования.
- оператор эволюции.
Унитарный инвариант – инвариантность относительно унитарного преобразования.
Докажем, что эрмитовость является унитарным инвариантом.
Пусть
и
.
Между представлениями существует связь
Эрмитовость
оператора
в
и в
представлении означает:
(1)
(2)
Теперь надо показать, что из (1) следует (2) и наоборот, что из (2) следует (1).
Пусть
известно, что
,
докажем (1).
{используем,
что
}
={Используем,
что
=
(*)
Тогда из (2) следует (1). Наоборот, аналогично из (1) следует (2).
Рассмотрим
задачу Штурма-Лиувилля для оператора
и покажем, что спектр этой задачи есть
унитарный инвариант.
(3)
Теперь докажем, что собственное значение удовлетворяет также задаче
Мы знаем, что переход осуществляется по связи
,
тогда имеем
.
Из (3) получаем
Так как
.
.
Переносим все в левую часть равенства:
.
Оператор
не нулевой.
Это
задача Штурма-Лиувилля в
представлении с тем же оператором
и с тем же собственным значением.
Но
справедлив и обратный переход из
представление.
Вывод. Спектр собственных значений оператора – унитарный инвариант.
Спектр собственных значений дает результат измерения физической величины.
Докажем, что норма функции есть унитарный инвариант.
Рассмотрим нормировку на примере канонического преобразования.
Напомним равенство Парсеваля
Равенство Парсеваля означает сохранение нормировки относительно унитарного преобразования.
Но,
по определению,
и
есть норма функции в
и в
-
представлении.
Покажем, что среднее значение физической величины есть унитарный инвариант.
По определению среднего:
.
Для знаменателя инвариантность доказана.
Распишем числитель
Таким образом
.
§ 35. Вид операторов ив декартовых и сферических координатах.
По
определению
.
В координатном представлении
Введем
безразмерный оператор
такой, что
.
Используем
Таким
образом для оператора
.
.
.
.
Переход из декартовых оординат в сферические координаты:
Переход из сферических в декартовы координаты
Также используем:
(1)
Переход
при
имеет вид
.
Тогда в общем виде
.
Из (1) имеем
.
Теперь найдем:
Таким
образом
Аналогично имеем