
- •Квантовая механика
- •§ 1. Экспериментальные основы квантовой механики
- •§ 2. Классическое и квантовое описание системы.
- •§ 3 Принцип неопределенности.
- •§ 4. Полный набор динамических переменных
- •§ 5. Постулаты квантовой механики.
- •§ 6 Роль классической механики в квантовой механике
- •§ 7 Волновая функция и ее свойства.
- •§ 8 Принцип суперпозиции состояний
- •§ 9 Понятие о теории представлений
- •§ 10 Операторы в квантовой механике
- •§ 12 Среднее значение измеряемой величины.
- •§ 13 Вероятность результатов измерения
- •§ 14 Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин
- •§ 15. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии.
- •§ 16. Решение задачи Штурма-Лиувилля для оператора .
- •§ 17 Решение задачи Штурма-Лиувилля для оператора .
- •§ 18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы .
- •§ 19 Волновое уравнение
- •§ 20 Производная оператора по времени
- •§ 21 Интегралы движения в кв. Механике.
- •§ 22. Свойства операторов вида
- •§23. Флуктуации физических величин.
- •§ 24. Неравенство Гайзенберга.
- •§ 25 Оператор Гамильтона различных систем.
- •§ 26. Стационарное состояние различных систем
- •§ 27. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •Для трехмерного случая
- •§ 28. Интегральные операторы в квантовой механике.
- •§ 29. Интегральный оператор канонического преобразования.
- •§ 30. Каноническое преобразование оператора.
- •§ 31. Уравнения Шредингера в матричной форме.
- •§ 32. Линейный гармонический осциллятор
- •Предельные технологические размеры кристаллов и.С. 0.1 – 0.5 мкм. Существует и предел по физической работоспособности. Однако с уменьшением размера кристалла увеличивается быстродействие приборов.
- •§ 30.1. Каноническое преобразование оператора. Ч. 2
- •§ 34. Унитарные инварианты в квантовой механике.
- •§ 35. Вид операторов ив декартовых и сферических координатах.
- •§ 36. Коммутационные соотношения с оператором .
- •§ 37. Собственные функции и собственные значения операторов и.
- •§ 38. Вырождение энергетических уровней частицы, движущейся в центральном поле.
- •§ 39. Гамильтониан частицы без спина, движущейся в магнитном поле.
- •§ 40. Снятие вырождения по квантовому числу m в случае частицы без спина, движущейся в магнитном поле. Используем
- •§ 41. Оператор бесконечно малого поворота без учета спина.
- •§ 42. Собственный механический момент (спин).
- •§ 43. Операторы ии их свойства.
- •§ 44. Спиновая переменная волновой функции
- •§ 45. Матрицы Паули и их свойства.
- •§ 46 Понятие о спинорах
- •§ 47. Уравнение Паули Мы писали волновое уравнение в виде
- •§ 48. Операторы и, и их свойства
- •§ 50. Принцип тождественности.
- •§ 51. Оператор перестановки и его свойства
- •§ 52. Симметричное и антисимметричное состояния.
- •§ 53. Обменное взаимодействие
- •§ 54. Основное состояние атома гелия
- •§ 55. Схема Юнга квантовой механики.
- •1. И ,
- •2. И .
- •§ 56. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: нулевое и первое приближения.
- •§ 58 Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: второе приближения.
- •§ 59. Критерий применимости теории возмущений.
- •§ 60. Стационарная теория возмущений в случае близких энергетических уровней.
- •§ 61. Метод (представление) Шредингера. Оператор эволюции и его свойства.
- •§ 62. Метод (представление) Гейзенберга. Уравнение движения для оператора.
- •§ 63. Уравнение эволюции среднего значения физической величины. Соотношение неопределенности: время – энергия.
- •§ 64. Матричное представление операторов.
- •§ 65. E – представление.
- •§ 66. Уравнение Шредингера в матричной форме.
- •§ 67. Матричная формулировка задачи о линейном гармоническом осцилляторе.
- •§ 68. Расчет матричных элементов операторов .
§ 26. Стационарное состояние различных систем
Задача
Штурма-Лиувилля для оператора :
(*)
Волновое
уравнение:
(**)
Как
только поставили в соответствие системе
оператор
, то можем решать волновое уравнение,
находим
, которая определяет состояние системы.
Задача Штурма-Лиувилля дает собственные
значения и собственные функции оператора
.
Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля и функции, являющиеся решением волнового уравнения совпадают при условии выполнения:
,
тогда
. Это условие совместности решений (*) и
(**).
Так
как
,
то гамильтониан системы явно от времени
не зависит, т. е. поле стационарно (задача
стационарна) – это говорит о совместности
решений (*) и (**).
Рассмотрим
стационарную задачу
,
тогда
не зависит от времени. Это либо:
Замкнутая система.
Система в стационарном внешнем поле.
Использую (*) и (**), получим
Это дифференциальное уравнение имеет решение
Подставим эту функцию в (*), тогда
.
Тогда получим
Получили стационарное уравнение Шредингера.
§ 27. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
Для
свободной материальной точки
.
,
тогда переходим к стационарному уравнению
Шредингера.
Это трехмерная задача
Оператор Лапласа
Оператор представим в виде суммы трех независимых операторов, которые коммутируют. В этом случае можно разделить переменные.
Тогда стационарное уравнение Шредингера запишется в виде
,
где
Для
имеем
.
Обозначим
.
Тогда
Решение этого уравнения
Так как частица свободная, то импульс этой частицы сохраняется. Значит сохраняется направление движения частицы.
Мы
выбираем движение частицы по направлению
оси x.
Тогда в силу сохранения импульса имеем
.
Для трехмерного случая
Полная волновая функция
(***)
Рассмотрим теперь коммутатор
Так
как импульс коммутирует с
и не зависит явно от времени, тогда
.
Из этого следует:
-интеграл движения.
Собственная функция оператора импульса является решением волнового уравнения.
Найдем собственные значения оператора импульса.
{используем,
что
,
т. е.
}
=
=.
Тогда
собственное значение оператора
:
Это первое дебройлевское соотношение.
Из
(***) вводится
- второе дебройлевское соотношение.
Используем, что
Уравнение (***) удовлетворяет собственной функции оператора импульса.
§ 28. Интегральные операторы в квантовой механике.
Оператор
в
-
представлении
.
В общем случае
Здесь
- ядро интегрального оператора в
координатном представлении.
Задача Штурма-Лиувилля
Здесь
и
изменяются непрерывно.
Разложение
функции
по базису
:
,
где
Тогда
и аналогично
Для
того чтобы найти ядро интегрального
оператора, разложим
-
функцию по базису собственных функций
из задачи Штурма-Лиувилля.
={т.
к. оператор от q
, а интеграл
по f,
то ставим оператор
под знак интеграла}
{из
задачи Штурма-Лиувилля}=
.
Поменяем порядок интегрирования
Ядро интегрального оператора
Оператору
поставили в соответствие ядро
.
Тогда можно записать действие оператора
на любую функцию, решив задачу
Штурма-Лиувилля.
Пусть есть эрмитов оператор
.
Тогда
А
в силу равенства
имеем
Найдем
ядро оператора
в координатном представлении. Действие
в этом представлении сводится к умножению
на
.
Мы
знаем, что по определению
-функции:
Тогда
Ядро
оператора координат в координатном
представлении
Ядро
оператора
в
-представлении,
тогда имеет вид