§ 19 Волновое уравнение

Надо сформулировать уравнение функции, которая описывала бы квантово-механической системы.

Это уравнение было получено Шредингером интуитивным путем. Оно ниоткуда не выводится.

Приведем некоторые соотношения в пользу уравнения Шредингера:

Норма волновой функции:

- вероятность обнаружить динамические переменные в интервале .

Наложим на - условие ее сохранения во времени.- это физическое требование, поскольку, тотакже функция времени.

На базе ограничения получим некоторые ограничения на.

Обозначим . Мы знаем, что, таким образом. Тогда само скалярное произведение- чисто мнимое число.

Но - число вещественное. Отсюда можно представить

. (*)

Здесь мнимая единица из соотношения . Т. к. в (*) стоит линейный оператор, то это соотношение удовлетворяет принципу суперпозиции.

Подставим (*) в равенство , тогда

- эта величина должна быть чисто вещественной, тогда оператор - эрмитов: .

Свойства оператора :

В пределе перехода к классической механике: , то , гдеS – действие из классической механики. Причем , тогда рассматривая

, (**)

где - функция Гамильтона.

В нашем случае , тогда учитывая предельный переход и (**), то: .

Получили волновое уравнение:

- уравнение Шредингера.

Каждой системе ставится в соответствие Гамильтониан, решаем с гамильтонианом уравнение Шредингера и получаем волновую функцию которая определяет эволюцию системы.

§ 20 Производная оператора по времени

Пусть средняя от величины , тогда.

Ставим в соответствие величине оператор, тогда величинеставим в соответствие.

Распишем:

{ограничение }{ и соотношение ,}=

=={}= => {распишем квадратную скобку операторов: , но , тогда

}

В классической механике . []-скобки Пуассона.

В квантовой механике существует связь:

В пределе имеем.

В квантовой механике большинство операторов явно не зависят от времени и их частные производные равны 0.

§ 21 Интегралы движения в кв. Механике.

В классической механике , где, тогдаA – интеграл движения.

В квантовой механике, чтобы величина , которой ставится в соответствие оператор, была интегралом движения нужно, чтобы.

Для того чтобы физическая величина сохранялась, необходимо и достаточно, чтобы .

1. т. к. , то-значение момента импульса сохраняется, т. е. является интегралом движения.

2. . - интеграл движения.

3. . Отсюда следует. Что различные компоненты момента импульса одновременно не измеримы. А измерима только одна проекция .

4. . Квадрат импульса одновременно измерим с любой компонентой момента импульса.

5. , тогда импульс не является интегралом движения.

§ 22. Свойства операторов вида

, здесь ,.

Т. к. рассматриваются физические величины, то исамосопряженные

Но оператор в общем случае не самосопряженный.

Решим задачу по нахождению коэффициентов и, таких чтобыбыл самосопряженным.

,

тогда .

Теперь .

Найдем коэффициенты ииз условия самосопряженности, тогда

Равенство выполняется, когда

Отсюда получаем два уравнения для действительной и мнимой частей комплексного числа.

Можно записать

Тогда .

Если икомплексносопряженные, то оператор- самосопряженный.

В общем случае , тогда имеем два случая:

1. =>

2. =>

Таким образом мы нашли на бае двух самосопряженных операторов

самосопряженный оператор.

Полезность найденного оператора в том, что он имеет вещественное среднее значение, т. е.

дает

Вспомним .- этот оператор не эрмитов, но если его домножить на мнимую единицу, то он станет эрмитовым.

- эрмитов оператор.

Его среднее значение вещественно: , т. к. .

Рассмотрим теперь

- это тоже эрмитов оператор.

Дифференцирование по времени эрмитовости не нарушает, т.к. ,, то и