Предельные технологические размеры кристаллов и.С. 0.1 – 0.5 мкм. Существует и предел по физической работоспособности. Однако с уменьшением размера кристалла увеличивается быстродействие приборов.

Рассмотрим систему: проводящая поверхность к ней игла с трехмерным пьезоприводом

На расстоянии от поверхности возникает туннельный ток.

Проницаемость потенциального барьера

На этой основе был создан туннельный микроскоп, который позволяет различать атомы на поверхности. Получили нановидение.

Возникли проблемы нанотехнологии – системы способов и приемов работы с частицами размеров порядка атомов и молекул.

Нанотехнология поставила проблему наноэлектроники.

§ 30.1. Каноническое преобразование оператора. Ч. 2

Используем все обозначения из § 30.

Рассмотрим

Теперь распишем

Тогда получили

(1)

Аналогично

(2)

Итак каноническое преобразование имеет вид:

,

где ядро канонического оператора имеет вид:

,

обратное преобразование

,

где ядро оператора имеет вид:

.

Но было также установлено, что

,

тогда установили соответствие

Скалярные произведения из (1) и (2) есть матричные элементы оператора для непрерывного спектра.

§ 34. Унитарные инварианты в квантовой механике.

Оператор унитарный, если

.

Как пример унитарных операторов приведем:

1. - оператор канонического преобразования.

2. - оператор эволюции.

Унитарный инвариант – инвариантность относительно унитарного преобразования.

Докажем, что эрмитовость является унитарным инвариантом.

Пусть

и .

Между представлениями существует связь

Эрмитовость оператора ви впредставлении означает:

(1)

(2)

Теперь надо показать, что из (1) следует (2) и наоборот, что из (2) следует (1).

Пусть известно, что , докажем (1).

{используем, что }

={Используем, что =(*)

Тогда из (2) следует (1). Наоборот, аналогично из (1) следует (2).

Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля для оператора и покажем, что спектр этой задачи есть унитарный инвариант.

(3)

Теперь докажем, что собственное значение удовлетворяет также задаче

Мы знаем, что переход осуществляется по связи

,

тогда имеем

.

Из (3) получаем

Так как

.

.

Переносим все в левую часть равенства:

.

Оператор не нулевой.

Это задача Штурма-Лиувилля в представлении с тем же оператороми с тем же собственным значением.

Но справедлив и обратный переход из представление.

Вывод. Спектр собственных значений оператора – унитарный инвариант.

Спектр собственных значений дает результат измерения физической величины.

Докажем, что норма функции есть унитарный инвариант.

Рассмотрим нормировку на примере канонического преобразования.

Напомним равенство Парсеваля

Равенство Парсеваля означает сохранение нормировки относительно унитарного преобразования.

Но, по определению, иесть норма функции ви в- представлении.

Покажем, что среднее значение физической величины есть унитарный инвариант.

По определению среднего:

.

Для знаменателя инвариантность доказана.

Распишем числитель

Таким образом

.

§ 35. Вид операторов ив декартовых и сферических координатах.

По определению .

В координатном представлении

Введем безразмерный оператор такой, что

.

Используем

Таким образом для оператора

.

.

.

.

Переход из декартовых оординат в сферические координаты:

Переход из сферических в декартовы координаты

Также используем:

(1)

Переход при имеет вид

.

Тогда в общем виде

.

Из (1) имеем

.

Теперь найдем:

Таким образом

Аналогично имеем