Если при увеличении одного показателя значения другого возрастают до определённого уровня, а потом начинают снижаться, то для записи такой зависимости лучше всего подходит парабола второго порядка (формула 6.5).
В соответствии с требованиями метода наименьших квадратов для определения параметров
,
,
и
необходимо решить следующую систему
уравнений:
;
;
.При более сложном характере зависимости между изучаемыми явлениями используются более сложные параболы (третьего, четвёртого порядка и т.д.), а также квадратические, степенные, показательные и другие функции.
Гипербола описывает такую зависимость между двумя показателями, когда при увеличении одной переменной значения другой увеличиваются до определённого уровня, а потом прирост снижается. Для определения параметров гиперболы (формула 6.6) необходимо решить следующую систему уравнений
;
.Теснота связи при криволинейной форме зависимости характеризуется корреляционным отношением
,
(6.7)
где
;
.Показатель (6.7) является универсальным. Его можно применять при любой форме зависимости. Однако для определения его величины вначале необходимо решить уравнение регрессии и рассчитать выравненные значения результативного показателя (Yx), для чего в полученное уравнение необходимо подставить значения x (при гиперболической зависимости) и x, x2 (при параболической зависимости).
В качестве примера для иллюстрации корреляционного анализа криволинейной зависимости могут быть использованы сведения об изменении величины эксплуатационных расходов в зависимости от грузооборота (табл. 6.4).
Таблица 6.4
Зависимость эксплуатационных расходов (y) от грузооборота (x)
№
Грузообо
рот, млрд.
тариф.
т-км
Эксплуатацион
ные расходы, млн. руб.
1/x
(1/x)2
y/x
yx
1
112,8
67,67
0,0089
0,00008
0,600
302,45
2
140,9
148,73
0,0071
0,00005
1,056
235,94
3
166,1
291,91
0,0060
0,00004
1,757
195,44
4
178,5
288,74
0,0056
0,00003
1,618
179,71
5
150,7
112,03
0,0066
0,00004
0,743
218,58
6
130,4
304,21
0,0077
0,00006
2,333
257,44
7
104,0
477,93
0,0096
0,00009
4,595
330,67
8
75,8
483,81
0,0132
0,00017
6,383
465,23
9
79,1
457,22
0,0126
0,00016
5,780
444,53
Итого
1138,3
2632,25
0,0773
0,00072
24,865
2629,99
Подставив полученные значения в систему уравнений для определения параметров гиперболы, получим:
9a + 0,0773b = 2632,25
0,0773a + 0,00072b = 24,865
Значение
определяем из первого уравнения:
.Подставляя найденное выражение
во второе уравнение, находим значениеb:
;b = 37616,7;
a = - 31,03.
Уравнение гиперболы будет иметь следующий вид:
.Параметры полученного уравнения экономического смысла не имеют. Если подставить в данное уравнение соответствующие значения x, то получим выравненные значения эксплуатационных расходов в зависимости от грузооборота. Результаты приведены в последней графе табл. 6.4.
Для расчёта корреляционного отношения (формула 6.7), характеризующего тесноту связи при криволинейной зависимости, заполним табл. 6.5.
Таблица 6.5
Расчёт исходных данных для определения корреляционного отношения
при криволинейных зависимостях
y
yx
y - yx
67,67
302,45
-224,80
50535,04
-234,78
55121,6
148,73
235,94
-143,74
20661,19
-87,21
7605,6
291,91
195,44
-0,56
0,31
+96,47
9306,5
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
2632,25
2629,99
-
202055,83
-
119652,8
Определим среднеарифметическое значение показателя y:
.Подставив полученные значения в формулу (6.7), определим величину корреляционного отношения:
.В данном случае величина корреляционного отношения является заметной (табл. 6.3). Это позволяет сделать вывод о том, что грузооборот – один из основных факторов, от которого зависит величина эксплуатационных расходов железной дороги.
В заключение необходимо отметить, что мы рассмотрели использование способов парной корреляции только на двух примерах. Однако эта методика может быть использована для исследования соотношений между разными экономическими показателями, что позволяет значительно углубить знания об изучаемых явлениях, определить место и роль каждого фактора в изменении уровня исследуемого показателя.
6.3. Методика множественного корреляционного анализа
Экономические явления и процессы хозяйственной деятельности предприятий зависят от большого количества факторов. Как правило, каждый фактор в отдельности не определяет изучаемое явление во всей полноте. Только комплекс факторов в их взаимосвязи может дать более или менее полное представление о характере изучаемого явления.
Корреляционно-регрессионный анализ включает следующие этапы:
выбор вида модели;
расчёт оценок параметров;
анализ полученных результатов с целью проверки достоверности модели.
Отбор факторов для корреляционного анализа является очень важным моментом. От того, насколько правильно он сделан, зависит точность выводов по итогам анализа. При этом необходимо придерживаться следующих правил.
При отборе факторов в первую очередь следует учитывать причинно-следственные связи между показателями, так как только они раскрывают сущность изучаемых явлений.
При создании многофакторной корреляционной модели необходимо отбирать самые значимые факторы, которые оказывают решающее воздействие на результативный показатель, так как охватить все условия и обстоятельства практически невозможно.
Все факторы должны быть количественно измеримы, т.е. иметь единицу измерения, и информация о них должна содержаться в учёте и отчётности.
В корреляционную модель линейного типа не рекомендуется включать факторы, связь которых с результативным показателем имеет криволинейный характер.
Нежелательно включать в корреляционную модель факторы, связь которых с результативным показателем носит функциональный характер.