Вопрос 8. Предел последовательности. Предел функции. Бесконечно малые величины .Арифметические свойства предела

Определение 8.1 Если каждому сопоставлено число, то говорят, что задана последовательность

Некоторые последовательности обладают очень важным свойством – они имеют предел.

Определение 8.2 Последовательностьимеет предел, равный числу A тогда и только тогда, когда для любого существует числотакое, что для всех, удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство.

Удобно записывать это определение с помощью логических символов: .

Для обозначения предела последовательности используется символ: .

Примеры. 1) Если для всех n, то

Доказательство. Для любого и любого, и любого n .

2) Если , то

Доказательство. Пусть . Возьмем. Тогда если , то и , поэтому .

Пусть определена в некоторой проколотой окрестноститочкиа.

Определение 8.3 Функцияимеет при предел, равный числу А тогда и только тогда, когда для любой окрестности точки А существует проколотая окрестностьточки атакая, что, или, равносильно, такая, что для любого. С помощью логических символов это определение записывается так:

Данное определение называется определением предела по Коши.

В этом определении можно вместо произвольной рассматривать при произвольноми, соответственно, вместо - проколотую окрестность . Тогда оно примет вид: .

Вспоминая, что условие равносильно неравенствам , а условиеравносильно условию, получаем равносильную определению8.3 запись определения предела на "языке ":

Теорема 8.1.

1. Если предел последовательности существует, то он единственен, т.е. еслии если, то

2. Если предел функции имеет при существует, то он единственен, т.е.,, то

Доказательство. 1)Предположим, что последовательность имеет пределом число , а также имеет пределом число , . Тогда:

Полагая в этом условии , получаем, что при . Аналогично, поскольку - тоже предел, получаем, что при.

Пусть . Тогда привыполняются условияи, поэтому

Полученное противоречие доказывает теорему.

2)Утверждение этой теоремы доказывается вполне аналогично, но оно будет приведено ниже для полноты изложения. Пусть снова функция имеет при два предела, и . Тогда, применяя определения предела при получаем, что для существуют числа и такие, что при выполняется неравенство, а привыполняется неравенство . Тогда положим и потребуем, чтобы. При этом

Полученное противоречие доказывает теорему.

Определение 8.4 Последовательность называется бесконечно малой, если . Аналогично, функция- бесконечно малая при , если.

Теорема 8.2.Предел последовательности существует и равен А тогда и только тогда, когда можно представить в виде, где- бесконечно малая последовательность.

Аналогично, тогда и только тогда, когда , где -бесконечно малая при функция.

Доказательство. Доказательство проведем для случая функций. Для последовательностей оно вполне аналогично. Итак, обозначим . Условие равносильно тому, что , что равносильно условию , что, в свою очередь, означает, что -бесконечно малая при .

Определение 8.5 Функция называетсяограниченной при , если она ограничена в некоторой, т.е. если:.

Теорема 8.3 (Свойства бесконечно малых)

1. Если и - бесконечно малые при , то алгебраическая сумма - тоже бесконечно малая при ;

2. Если - бесконечно малая и - ограниченная при , то произведение есть бесконечно малая при ;

3. Если и - бесконечно малые при , то произведение - тоже бесконечно малая при .

Бесконечно малые последовательности обладают вполне аналогичными свойствами:

1. Если и - бесконечно малые последовательности, то алгебраическая сумма - тоже бесконечно малая последовательность;

2. Если - бесконечно малая последовательность, а - ограниченная последовательность (т.е. : ), то - бесконечно малая последовательность;

3. Если и - бесконечно малые последовательности, то произведение - бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Доказательство проводим для случая бесконечно малых функций.

Зафиксируем произвольное и рассмотрим . Тогда, по определению предела,

Обозначив , получаем:

.

По свойству модулей: , обозначив получаем: . Таким образом, , т.е. - бесконечно малая. 

2. - ограничена при , т.е. , : .

Зафиксируем произвольное и рассмотрим . Тогда .

Обозначив за получаем: . Значит, , т.е. - бесконечно малая при .

3. Докажем сначала лемму.

Лемма8.1. Если - бесконечно малая при , то она ограничена при . (наоборот - неверно!).

Доказательство: возьмем и получим, что . Таким образом, при ограничена. Лемма доказана.

Вернёмся к теореме. По доказанной лемме - ограничена при . Осталось применить свойство 2) бесконечно малых, доказанное выше. 

Теорема 8.4 (Арифметические свойства предела)

Пусть две функции и , имеют пределы и , соответственно, при . Тогда предел суммы, разности, произведения, и, если , частного этих функций равны соответственно сумме, разности, произведению и частному значения этих пределов, т.е. , если , то .

Аналогично теорема верна и для последовательностей. Если , то, то, а если , то и .

Доказательство. По теореме 8.2 из условия следует, что

, где - бесконечно малые при

.

Тогда . По теореме8.3 алгебраическая сумма бесконечно малых - бесконечно малая, т.е.  , снова по теореме 8.2.

Перейдем к произведению

. Последние слагаемые - бесконечно малая величина при . По свойствам 2 и 3 бесконечно малых, - бесконечно малые при . По свойству 1 их сумма – бесконечно малая при . По теореме 8.2, .

Перейдем к пределу частного и докажем сначала лемму:

Лемма 8.2. Если , то выполняется неравенство .

Доказательство. Выберем . Тогда . Лемма доказана.

Теперь докажем следующее утверждение:

Лемма 8.3.Если, то .

Доказательство. Имеет место равенство

. По лемме 8.2 в выполняется не равенство, следовательно, . Значит, функция ограничена при , и - бесконечно малая при . Таким образом, бесконечно малая, т.е. . Лемма доказана.

Для доказательства равенства применим лемму8.3 и часть теоремы 8.4 о пределе произведения функций..