- •Вопросы экзамена по математическому анализу для студентов 1 курса экономического факультета анх
- •Вопрос 1: множества и операции над ними
- •Вопрос 2 : декартово произведение множеств, бинарные отношения
- •Вопрос 3: отображения и их свойства
- •Вопрос 4: множество действительных чисел. Аксиома отделимости
- •§1. Натуральные числа
- •§ 1΄. Аксиомы Пеано
- •§ 2. Целые числа
- •§ 3. Рациональные числа
- •§4. Действительные числа
- •Вопрос 5:верхняя и нижняя грани
- •2. Стягивающиеся отрезки
- •Вопрос 6. Предельные точки
- •Вопрос 7. Приближённые вычисления
- •Вопрос 8. Предел последовательности. Предел функции. Бесконечно малые величины .Арифметические свойства предела
- •Вопрос 9. Предельный переход в неравенствах. Вычисление
- •Вопрос 10: предел монотонной ограниченной функции
- •Вопрос 11: число e
- •Вопрос 12: критерий коши существования предела последовательности, предела функции
- •Вопрос 13: непрерывность. Точки разрыва.Свойства непрерывных функций
- •1. Непрерывна в точке ;
- •2. Существует такая , что.
- •Вопрос 14: непрерывность элементарных функций
- •Вопрос 15: символы ,. Вычисление ,,
- •Вопрос 16: промежуточные значения непрерывной на отрезке функции
- •Вопрос 17: ограниченность непрерывной на отрезке функции
- •Вопрос 18: равномерная непрерывность
- •Вопрос 19: производная, её естественнонаучный смысл и основные свойства
- •1. Дифференцируемость функции
- •2.Производная
- •3. Касательная к графику функции
- •4. Правила дифференцирования
- •4. Производная обратной функции
- •6. Производная сложной функции
- •7. Производная функции, заданной параметрически
- •Вопрос 20: дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала
- •1.Понятие дифференциала числовой функции
- •4.Дифференциал суммы, произведения и частного функций.
- •Вопрос 21:производные и дифференциалы высших порядков
- •1. Последовательные производные
- •2. Примеры
- •3. Линейное свойство производных высших порядков
- •Вопрос 22.
- •Вопрос 23: теоремы ферма, ролля. Необходимые условия экстремума
- •Вопрос 24:теоремы лагранжа, коши.Критерий постоянства функции
- •Вопрос 25: формула тейлора с остаточным членом в форме лагранжа
- •Вопрос 26. Формула тейлора с остаточным членом в форме пеано
- •Вопрос 28: правила лопиталя
- •1. Неопределённость типа
- •Вопрос 29: монотонность функции. Достаточные условия экстремума функции
- •Вопрос 30. Функции спроса торнквиста. Функция полезности. Выпуклость графикафункции.
- •2.Производственные функции.
- •5. Выпуклость графика функции.
- •Необязательный материал, но знание его весьма полезно
- •1.Выпуклость непрерывной функции
- •2. Выпуклость дифференцируемой функции
- •3. Выпуклость дважды дифференцируемой функции
- •4.Точки перегиба
- •31. Пространство , множества в нем.
- •Вопрос32.Функции и отображения. Предел, непрерывность.
- •Функции Кобба-Дугласа.
- •Вопрос 33. Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные
- •Вопрос 34.
- •Вопрос 35.
- •Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •Вопрос 36. Касательная плоскость
- •Вопрос 37. Производная по направлению, градиент.
- •Необязательный материал, но знание его весьма полезно Матрица Якоби и ее свойства.
- •Вопрос 39. Производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Второй дифференциал функции.
- •Вопрос 41. Формулы Тейлора.
- •Билет 42. Экстремумы функций нескольких переменных.
- •Достаточные условия экстремума.
- •Метод наименьших квадратов.
Вопрос 29: монотонность функции. Достаточные условия экстремума функции
Напомним основные определения 10.1’.
Определение 29.1 Функция , определенная на промежутке , возрастает на этом промежутке, если для любых , имеет место неравенство .
Функция , определенная на промежутке , не убывает на , если для любых , имеет место неравенство .
Функция , определенная на промежутке , убывает на , если для любых , имеет место неравенство .
Функция , определенная на промежутке , не возрастает на , если для любых , имеет место неравенство .
Общее название рассмотренных функций - монотонные функции.
Ясно, что если функция возрастает на , то она, тем более, не убывает на (но не наоборот). Аналогичное замечание справедливо для убывающей функции.
Общее название возрастающих, убывающих функций – строго монотонные функции.
Теорема 29.1. Пусть функция дифференцируема на интервале . Она не убывает (не возрастает) на тогда и только тогда, когда для всех выполняется неравенство .
◄Пусть не убывает на (случай невозрастания рассматривается аналогично). Тогда рассмотрим произвольную точку и приращения такие, что . Если , то и .
Если , то , но все равно . Предел существует и равен . По теореме 9.1 этот предел .
Обратно пусть для всех выполняется неравенство . Пусть , . К отрезку можно применить теорему Лагранжа. Действительно, т.к. дифференцируема на , то она непрерывна на , а, значит, и на . Также по условию она дифференцируема на . Следовательно, .►
Теорема 29.1 допускает уточнение
Теорема 29.2. Пусть дифференцируема на и для всех выполняется неравенство . Тогда возрастает на .
◄Как и в предыдущей теореме, получаем, что для любых , , имеет место неравенство
.►
Замечание. Утверждать, что если функция возрастает, то для всех выполняется неравенство нельзя. Пример функции показывает, что хотя эта функция возрастает на всей прямой, есть точка , в которой ее производная равна 0.
Таким образом, даже возрастание функции гарантирует, по теореме 29.1, лишь нестрогое неравенство .
В теореме 23.1 установлено необходимое условие экстремума: Если функция имеет производную в точке экстремума , то .
Как показывает пример из предыдущего замечания, , это условие не является достаточным.
Теорема 29.3. Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности и пусть для всех и для всех . Тогда - точки минимума. Если же для всех и для всех , то - точка максимума.
◄Проведём доказательство для точки минимума. Пусть , и .
Если , то применим теорему Лагранжа к отрезку :
.
Если , то применим теорему Лагранжа к отрезку :
,
Поэтому . Таким образом, - точка минимума.►
Теорема 29.4. Пусть , существует в и . Пусть такова, что , Тогда если , то - точка максимума, если , то - точка минимума.
◄Условия теоремы дают возможность применить формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, т.е. теорему 26.1, согласно которой, с учётом равенства , имеем:
, где при .
Пусть . Так как при , существует такое, что для любых : выполняется неравенство .
Это означает, что модуль второго слагаемого в сумме не превосходит половины модуля первого слагаемого, т.е. , поэтому знак этой суммы совпадает со знаком . Но знак этой величины совпадает со знаком как при , так и при , так как . Следовательно, приращение не меняет знак в окрестности точки , и знак его совпадает со знаком . Это и означает, что если , то - точка максимума, а если , то - точка минимума.►
Ещё более тонкий достаточный признак экстремума содержится в следующей теореме.
Теорема 29.5. Пусть , существует в и . Пусть точка такова, что , а . Тогда если n – чётное число, то в точке есть экстремум, минимум при,максимум при .
Если же n – нечётное число, то в точке экстремума нет.
◄Аналогично предыдущей теореме, получаем равенство , где при , из которого точно так же следует, что знак приращения совпадает со знаком при условии .
Если n – чётное число, то, как и в предыдущей теореме, как для , так и для , поэтому знак приращения совпадает со знаком и заключение теоремы становится очевидным.
Если же n – нечётное число, то величина положительна при и отрицательна при , поэтому приращение меняет свой знак в произвольной окрестности точки , следовательно, в точке нет экстремума. ►