Ряды.

1. Понятие числового ряда и его свойства. Основные определения.

Пусть задана числовая последовательность (последовательность – простейшая функция натурального аргумента). Ряды - сумма бесконечного числа элементов бесконечной последовательности.

Выражение вида , называется числовым рядом или просто рядом. Числа называются членами ряда, член с про­извольным номером — общим членом ряда. Суммы конечного числа членов ряда

называются частичными суммами ряда (1). Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм (2).

Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (2) сходится к какому-нибудь числу , которое в этом случае называется суммой ряда (1). Символически это запи­сывается так: или . Если же последовательность частичных сумм (2) расходится, то ряд (1) называется расходящимся.

2. Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости ряда.

Остаток ряда – ряд, в котором удалено конечное число первых членов ряда.

Теорема1. Если схо­дится ряд ,(4) то сходится и ряд, (и его остаток) , (5) и обратно, если сходится ряд (5), то сходится и ряд, (и остаток) (4). То есть, на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов. Доказательство. Обозначим  . Пусть S _n-k= а₁+а₂+…а_n-k, тогда , = S- limS_k - существует.

Т е о р е м а 2. Если ряд сходится и его сумма равна , то и ряд , где — некоторое число, также сходится, и его сумма равна . Доказательство. Пусть — частичная сумма ряда , а — частичная сумма ряда . Тогда

. Отсюда, переходя к пределу при , получаем , т. е. последовательность частичных сумм ряда сходится к . Следовательно, . Теорема доказана.

Теорема 3. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны и , то и ряд сходится и его сумма равна .Доказательство. Пусть и — частичные суммы рядов и , а — частичная сумма ряда .Тогда . Отсюда, переходя к пределу при , получаем , т. е. последовательность частичных сумм ряда сходится к . Следовательно, . Теорема доказана. Таким образом, установлено, что сходящиеся ряды можно умно­жать на число, почленно складывать и вычитать так же, как и ко­нечные суммы.

Необходимое условие сходимости ряда. Теорема 4. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т. е. .

Доказательство. По условию ряд сходится. Обозначим через его сумму. Рассмотрим частичные суммы ряда и . От­сюда . Так как и при , то . Теорема доказана. Условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда.

3. Ряды с неотрицательными членами. Необходимый и достаточный признак сходимости ряда с неотрицательными членами.

Теорема 5. Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последо­вательность частичных сумм этого ряда была ограничена.

Доказательство. Необходимость. Пусть ряд сходится. Это значит, что последовательность его частичных сумм имеет предел. В силу теоремы о сходящихся последовательностях всякая сходящаяся последова­тельность является ограниченной. Члены последовательности неотрицательны, то Sn не могут превзойти значение S.

Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм ряда ограничена. Так как ряд с неотрицательными членами, то его частичные суммы образуют неубывающую последо­вательность: В силу теоремы 2.12 о монотонных ограниченных последовательностях она сходится, т е сходится ряд . Теорема доказана.

4. Достаточные условия сходимости рядов с неотрицательными членами. Можарантный признак. Примеры.

Теорема. 6. Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех выполняется неравенство . Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .Доказательство. Обозначим через и соответственно частичные суммы рядов и . Из неравенства следует, что .(7). Если ряд сходится, то по теореме 14.5 (необходимость) последовательность его частичных сумм ограничена, т.е. для любого , где — некоторое число. Но тогда по фор­муле (7) и , откуда по той же теореме 14.5 (достаточность) следует, что ряд сходится. Если же ряд расходится, то ряд также расходится, так как, допустив сходимость ряда , получим по только что доказанному сходимость ряда , а это противоречит условию теоремы. Теорема доказана. Пример. Ряд сходится, так как сходится ряд из членов геометрической прогрессии , а члены данного ряда не больше соответствующих членов ряда сходящейся геометрической прогрессии: .