- •Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости ряда.
- •Ряды с неотрицательными членами. Необходимый и достаточный признак сходимости ряда с неотрицательными членами.
- •Достаточные условия сходимости рядов с неотрицательными членами. Можарантный признак. Примеры.
- •Признак Даламбера сходимости рядов с неотрицательными членами.
- •Интегральный признак Коши – Маклорена сходимости рядов с неотрицательными членами. Примеры.
- •Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.
- •Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов.
- •Степенные ряды. Теорема Абеля об области сходимости степенных рядов.
- •Радиус сходимости, интервал сходимости степенного ряда.
- •Свойства степенных рядов.
- •Разложение функций в степенные ряды. Теорема о единственности разложения функций в степенные ряды.
- •Ряды Тейлора и Маклорена элементарных функций.
- •Математическая статистика
- •Вариационные ряды: дискретные и интервальные. Аналитическое и геометрическое описание вр.
- •Оценивание параметров распределения случайных величин. Требования, предъявляемые к оценкам.
- •Точечные и интервальные оценки параметров распределения случайных величин
- •Метод максимального правдоподобия (Фишере) точечного оценивания параметров распределения случайных величин. Примеры.
- •Метод моментов (Пирсона) точечного оценивания параметров распределения случайных величин. Примеры.
- •Критерии Фишера и Стьюдента проверки статистических гипотез. Примеры
- •3. Математические методы м математические модели в экономике
- •Функции предложения и функции спроса, равновесная цена и равновесный объём. Примеры.
- •Макроэкономическая балансовая модель Леонтьева «затраты – выпуск».
- •Оптимизационные задачи с ограничениями. Модель максимизации прибыли предприятия.
- •Общая постановка задачи линейного программирования (злп). Графическое решение двумерных злп. Примеры.
- •Многомерные задачи злп. Понятие о симплекс- методе.
- •Специальные злп. Транспортная задача.
- •Основные понятия и определения математической теории игр. Антагонистическая игра (игра с нулевой суммой).
- •Минимаксная стратегия игры. Верхняя и нижняя цена игры. Определение оптимальных стратегий.
- •Теорема фон-Неймана о существовании оптимального решения конечной матричной игры.
- •Теорема фон-Неймана об активных стратегиях. Методы упрощения платежной матрицы.
- •Решение игр в чистых стратегиях и седловые точки матрицы игры.
- •Аналитическое решение игры (2 × 2), графическое решение игр вида (2 X n) и (n X 2).
- •Приведение матричной игры к злп.
- •Игры с природой. Постановка задачи. Математическая модель.
Специальные злп. Транспортная задача.
Однородный груз сосредоточен у k поставщиков в объемах a1, а2,..., аk. Данный груз необходимо доставить и потребителям в объемах b1, b2, ..., bn. Известны сij i= 1, 2, ..., k и j = 1, 2, ..., n — стоимости перевозки единицы груза от каждого i-го поставщика каждому j-му потребителю. Требуется составить такой план перевозок, при котором запасы всех поставщиков будут вывезены полностью, запросы всех потребителей полностью удовлетворены и суммарные затраты на перевозку всех грузов минимальны . Исходные данные задачи могут быть представлены таблицей и в виде вектора запасов поставщиков А = (a1, а2,..., аk), вектора запросов потребителей В= (b1, b2, ..., bn) и матрицы стоимостей C={сij}.В транспортных задачах под поставщиками и потребителями понимаются предприятия, заводы, фабрики, и т.д. Однородными считаются грузы, которые могут быть перевезены одним видом транспорта. Под стоимостью перевозок понимаются тарифы, расстояния, время и т.п. Математическая модель транспортной задачи. Переменными (неизвестными) транспортной задачи являются xij..,i-(=1,2, ..., k), j= 1,2, ..., n — объемы перевозок от каждого i-го поставщика каждому j-му потребителю. Эти переменные можно записать в виде матрицы перевозок:Так как произведение cijxij. определяет затраты на перевозку груза от i-го поставщика j-му потребителю, то суммарные затраты на перевозку всех грузов равны . По условию задачи требуется обеспечить минимум суммарных затрат. Следовательно, целевая функция задачи имеет вид: Система ограничений задачи состоит из двух групп уравнений. Первая группа из k уравнений описывает тот факт, что запасы всех k поставщиков вывозятся полностью, а вторая группа из n уравнений выражает требование полностью удовлетворить запросы всех n потребителей. Такая задача называется закрытой. Если же это равенство не выполняется, то задача называется задачей с неправильным балансом, а ее модель — открытой.
Основные понятия и определения математической теории игр. Антагонистическая игра (игра с нулевой суммой).
Игровые модели – это упрощенные математические модели конфликтов. В отличие от реального конфликта игра ведётся по четким правилам. Для моделирования конфликтных ситуаций разработан специальный аппарат – математическая теория игр. Стороны, участвующие в конфликте, называются игроками. Каждая формализованная игра (модель) характеризуется: количеством субъектов - игроков, участвующих в конфликте; вариантом действий для каждого из игроков, называемых стратегиями; функциями выигрыша или проигрыша (платежа) исхода конфликта; Игра, в которой участвуют два игрока A и B называется парной. Если же количество игроков больше двух, то это игра множественная. Игра, в которой выигрыш одного из игроков точно равен проигрышу другого, называется антагонистической игрой или игрой с нулевой суммой. Смоделировать (решить) антагонистическую игру – значит, для каждого игрока указать стратегии, удовлетворяющие условию оптимальности, т.е. игрок A должен получить максимальный гарантированный выигрыш, независимо от игрока B, а игрок B должен получить минимальный проигрыш, независимо от игрока A. Оптимальные стратегии характеризуются устойчивостью, то есть ни одному из игроков не выгодно отклоняться от своей оптимальной стратегии.