1. Графики и свойства основных элементарных функций.

1. К вадратный корень, функция Свойства: 1) Область определения: = [ ) 2) Область значений: = [ ) 3) Промежуток возрастания: [ ) 4) Промежутки убывания: нет 5) Нули функции: 6) Промежутки знакопостоянства: y>0 если ( ) y<0, нет таких Х

2. Показательная функция , где a > 1 Свойства: 1) Область определения: = ( ) 2) Область значений: = ( ) 3) Промежуток возрастания: ( ) 4) Промежутки убывания: нет 5) Нули функции: нет 6) Промежутки знакопостоянства: y>0 если ( ) y<0, нет таких Х

3. П оказательная функция , где a < 1 Свойства: 1) Область определения: = ( ) 2) Область значений: = ( ) 3) Промежутки возрастания: нет 4) Промежуток убывания: ( ) 5) Нули функции: нет 6) Промежутки знакопостоянства: y>0 если ( ) y<0, нет таких Х

4. Л огарифмическая функция , a > 1 Свойства: 1) Область определения: = ( ) 2) Область значений: = ( ) 3) Промежуток возрастания: ( ) 4) Промежуток убывания: нет 5) Нули функции: x=1 6) Промежутки знакопостоянства: y>0 если ( ) y<0 если ( )

5. Логарифмическая функция , a < 1 Свойства: 1 ) Область определения: = ( ) 2) Область значений: =( ) 3) Промежуток возрастания: нет 4) Промежуток убывания:( ) 5) Нули функции: x=1 6) Промежутки знакопостоянства: y>0 если ( ) y<0 если ( )

6. Т ригонометрическая функция Свойства: 1) Область определения: =( ) 2) Область значений: =[ ] 3) Промежутки возрастания: [ ], где 4) Промежутки убывания: [ ], где 5) Нули функции: , где 6) Промежутки знакопостоянства: y>0 если [ ], где y<0 если [ ], где

7. Т ригонометрическая функция Свойства: 1) Область определения: =( ) 2) Область значений: =[ ] 3) Промежутки возрастания: [ ], где 4) Промежутки убывания: [ ], где 5) Нули функции: , где 6) Промежутки знакопостоянства: y>0 если [ ], где y<0 если [ ], где

2. Предел функции

Предел функции. Число L называется пределом функции  y = f ( x ) при  x, стремящемся к  a :

если для любого  > 0 найдётся такое положительное число = ( ), зависящее от  , что из условия | x  a | < следует  |  f ( x ) – L | < 

Это определение означает, что L есть предел функции  y = f ( x ), если значение функции неограниченно приближается к  L , когда значение аргумента  x приближается к  a. Геометрически это значит, что для любого  > 0  можно найти такое число  , что если  x  находится в интервале ( a  a  ), то значение функции лежит в интервале ( L  ,  L + ). Отметим, что в соответствии с этим определением аргумент функции лишь приближается  к  a , не принимая этого значения! Это следует учитывать при вычислении предела любой функции в точке её разрыва, где функция не существует.

3. Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

Þ .

Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x) , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x).

Þ .

Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.

.

Доказательство. f(x)=с, докажем, что .

Возьмем произвольное e>0. В качестве d можно взять любое

положительное число. Тогда при

.

Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в

одной точке.

Доказательство. Предположим противное. Пусть

и .

По теореме о связи предела и бесконечно малой функции:

f(x)-A= - б.м. при ,

f(x)-B= - б.м. при .

Вычитая эти равенства, получим:

B-A= - .

Переходя к пределам в обеих частях равенства при , имеем:

B-A=0, т.е. B=A. Получаем противоречие, доказывающее теорему.

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

.

Доказательство. Пусть , , .

Тогда, по теореме о связи предела и б.м. функции:

где - б.м. при .

Сложим алгебраически эти равенства:

f(x)+g(x)-h(x)-(А+В-С)= ,

где б.м. при .

По теореме о связи предела и б.м. функции:

А+В-С= .

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

.

Теорема 7. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при ,

причем , то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.

, .

4. Непрерывность функции в точке и на интервале.

Непрерывность функции в точке.

            Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

 

Тот же факт можно записать иначе:

            Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, но не является непрерывной в самой точке х₀, то она называется разрывной функцией, а точка х₀ – точкой разрыва.

            Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого положительного числа e>0 существует такое число D>0, что для любых х, удовлетворяющих условию

верно неравенство                               .

            Определение.  Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х₀, если приращение функции в точке х₀ является бесконечно малой величиной.

f(x) = f(x₀) + a(x)

где a(х) – бесконечно малая при х®х₀.

Непрерывность функции на интервале и на отрезке.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).

При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала.