- •1.Понятие множества. Операции производимые над множествами.
- •2. Числа. Числовые множества. Числовая ось. Окрестности точки.
- •3. Отображения между множествами. Функции и их опредиления.
- •4. Элементарные функции. Их свойства и графики.
- •5. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.
- •6. Непрерывность функции в точке. Предел функции в точке.
- •7. Производная функции. Геометрический и физический её смысл.
- •Определение производной функции через предел
- •1) Физический смысл производной.
- •2) Геометрический смысл производной.
- •8. Производные от элементарных функций. Таблица производных.
- •9. Дифференциал функций и его применение для приближённых вычислений..
- •10. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия его существования.
- •11. Точки перегиба функций, выпуклость и вогнутость функции.
- •12. Типовое исследование непрерывных и дифференцируемых функций.
- •13. Функции многих переменных и их непрерывность.
- •14. Производные и дифференциалы функций многих переменных.
- •15. Первообразная и непосредственный интеграл от функции.
- •Непосредственное интегрирование
- •16. Методы вычисления непосредственных интегралов.
- •18. Производные высших порядков. Методы их вычисления.
- •17. Определённый интеграл и способы его вычисления.
- •Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной
- •19. Ряды Маклорана и Тейлора дифференцируемых функций.
- •20. Общее понятие о линейных векторных пространствах. Их определение.
- •21. Базисы в лвп. Их преобразования. Координатное представление векторов.
- •22. Основные операции производимые над векторами.
- •23. Линейные отображение в лвп. Предоставление линейных преобразований матрицами..
- •24. Определение матриц. Основные операции, осуществляемые над матрицами.
- •25. Системы векторов. Ранг системы векторов. Ранг матрицы.
- •Ранг матрицы
- •26. Определители матриц. Правила и методы их вычисления.
- •27. Системы линейных уравнений и методы их решений.
1.Понятие множества. Операции производимые над множествами.
Мно́жество — одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств и логики.
Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит и не имеющее определения. Однако, можно дать описание множества, например в формулировке Георга Кантора:
Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M).
Другая формулировка принадлежит Бертрану Расселлу: «Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое». Также, возможно косвенное определение через аксиомы теории множеств.
В математической логике и дискретной математике часто употребляемый синоним множества — алфавит.
Множество может быть замкнутым и незамкнутым, полным и пустым, упорядоченным и неупорядоченным, счётным и несчётным, конечным и бесконечным. Более того, как в наивной, так и в формальной теориях множеств любой объект обычно считается множеством.
Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико-множественными операциями или сет-операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые.
Сравнение множеств
Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A), если каждый элемент A есть элемент B:
В этом случае A называется подмножеством B, B — надмножеством A. Если и , то A называется собственным подмножеством B. Заметим, что . По определению .
Два множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга:
Иногда для того, чтобы подчеркнуть, что множества могут быть равны, используется запись:
Операции над множествами
Бинарные операции
Ниже перечислены основные операции над множествами:
пересечение:
объединение:
Если множества A и B не пересекаются: , то их объединение обозначают также: .
разность (дополнение):
симметрическая разность:
Декартово или прямое произведение:
Для лучшего понимания смысла этих операций используются диаграммы Эйлера — Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.
Унарные операции
Абсолютное дополнение:
Операция дополнения подразумевает некоторый универсум (универсальное множество U, которое содержит A):
Относительным же дополнением называется А\В (см.выше):
Мощность множества:
| A |
Результатом является кардинальное число (для конечных множеств — натуральное).
Множество всех подмножеств (булеан):
Обозначение происходит из того, что в случае конечных множеств.
Приоритет выполнения операций
Сначала выполняются операции дополнения, затем пересечения, объединения и разности, которые имеют одинаковый приоритет. Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками.