- •1.Понятие множества. Операции производимые над множествами.
- •2. Числа. Числовые множества. Числовая ось. Окрестности точки.
- •3. Отображения между множествами. Функции и их опредиления.
- •4. Элементарные функции. Их свойства и графики.
- •5. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.
- •6. Непрерывность функции в точке. Предел функции в точке.
- •7. Производная функции. Геометрический и физический её смысл.
- •Определение производной функции через предел
- •1) Физический смысл производной.
- •2) Геометрический смысл производной.
- •8. Производные от элементарных функций. Таблица производных.
- •9. Дифференциал функций и его применение для приближённых вычислений..
- •10. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия его существования.
- •11. Точки перегиба функций, выпуклость и вогнутость функции.
- •12. Типовое исследование непрерывных и дифференцируемых функций.
- •13. Функции многих переменных и их непрерывность.
- •14. Производные и дифференциалы функций многих переменных.
- •15. Первообразная и непосредственный интеграл от функции.
- •Непосредственное интегрирование
- •16. Методы вычисления непосредственных интегралов.
- •18. Производные высших порядков. Методы их вычисления.
- •17. Определённый интеграл и способы его вычисления.
- •Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной
- •19. Ряды Маклорана и Тейлора дифференцируемых функций.
- •20. Общее понятие о линейных векторных пространствах. Их определение.
- •21. Базисы в лвп. Их преобразования. Координатное представление векторов.
- •22. Основные операции производимые над векторами.
- •23. Линейные отображение в лвп. Предоставление линейных преобразований матрицами..
- •24. Определение матриц. Основные операции, осуществляемые над матрицами.
- •25. Системы векторов. Ранг системы векторов. Ранг матрицы.
- •Ранг матрицы
- •26. Определители матриц. Правила и методы их вычисления.
- •27. Системы линейных уравнений и методы их решений.
13. Функции многих переменных и их непрерывность.
Переменная (с областью изменения ) называется функцией независимых переменных в множестве , если каждой паре их значений из по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение из множества . Множество v область определения функции, множество v область ее значений. Функциональная зависимость от обозначается так: и т.п. Выберем в пространстве систему координат , изобразим на плоскости множество ; в каждой точке этого множества восстановим перпендикуляр к плоскости и отложим на нем значение . Геометрическое место полученных таким образом точек и является пространственным графиком функции двух переменных.
Число А называют пределом функции f (x) при ( ), если
,
или
.
Оба эти определения эквивалентны.
Кроме этого понятия предела, которое обобщает понятие предела для функции одного переменного, для функций многих переменных существует и еще одно специфическое понятие, которого не было для функций одного переменного – так называемые повторные пределы. Опишем его на примере функции двух переменных .
Пусть задана функция двух переменных x и y. Пусть точка стремится к точке с координатами . Тогда то понятие предела, которое дано выше, называется двойным пределом и обозначается так: .
Будем теперь подходить к точке двумя путями (см. рис. 8.1). Первый выглядит так: сначала из точки перейдем в точку , двигаясь параллельно оси OY, а затем из этой точки перейдем в точку , двигаясь параллельно оси OX. В применении к функции это означает, что мы сначала перешли к пределу , получив некоторую функцию , а затем уже нашли , получив так называемый повторный предел
14. Производные и дифференциалы функций многих переменных.
Частные производные первого порядка и их геометрическое истолкование
Пусть задана функция z = ƒ (х; у). Так как х и у — независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение Δх, сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается ∆хz. Итак,
Δхz=ƒ(х+Δх;у)-ƒ(х;у).
Аналогично получаем частное приращение z по у:
Δуz=ƒ(x;у+Δу)-ƒ(х;у).
Полное приращение Δz функции z определяется равенством
Δz = ƒ(х + Δх;у + Δу)- ƒ(х; у).
Если существует предел
то он называется частной производной функции z = ƒ (х; у) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов:
Частные производные по х в точке М0(х0;у0) обычно обозначают символами
Аналогичноопределяется и обозначается частная производная от z=ƒ(х;у) по переменной у:
Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции ƒ(х;у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной).
Пример 44.1. Найти частные производные функции z = 2у + ех2-у +1. Решение:
Г еометрический смысл частных производных функции двух переменных
Графиком функции z= ƒ (х; у) является некоторая поверхность (см. п. 12.1). График функции z = ƒ (х; у0) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью у = уо. Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной (см. п. 20.2), заключаем, что ƒ'x(хо;уо) = tg а, где а — угол между осью Ох и касательной, проведенной к кривой z = ƒ (х; у0) в точке Мо(хо;уо; ƒ(хо;уо)) (см. рис. 208).
Аналогично, f'y (х0;у0)=tgβ.
44.2. Частные производные высших порядков
Частные производные называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от (х;у) є D. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т. д. порядков.
Так, и т.д.
Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной.Таковыми являются, например,